Projeção estereográfica

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Corte transversal de uma esfera. A partir do ponto Z (origem) projeta-se o ponto P (ponto da superfície da esfera) sobre o plano v (plano tangente à esfera), o que resulta no ponto P (imagem do ponto P sobre o plano v).

Em geometria, com aplicações em cartografia, a projeção estereográfica é um tipo de projeção em que a superfície de uma esfera é representada sobre um plano tangente a ela, utilizando-se como origem um ponto diametralmente oposto ao ponto de tangência daquele plano com a esfera.

Cartografia[editar | editar código-fonte]

Panorama de 120 fotografias utilizando projeção estereográfica, Dent de Vaulion, cantão de Vaud, Suíça.

Em cartografia, a projeção estereográfica resulta da projeção geométrica de pontos da superfície da Terra sobre um plano tangente a ela, a partir de um ponto de origem situado na posição diametralmente oposta ao ponto de tangência. Esta projeção é também chamada de azimutal ortomorfa.

A escala em uma projeção estereográfica aumenta com a distância do ponto de tangência, porém mais lentamente que em uma projeção gnomônica. Um hemisfério completo pode ser representado em uma projeção estereográfica, sem distorções excessivas. Tal como em outras projeções azimutais, os círculos máximos que passam pelo ponto de tangência aparecem como linhas retas. Todos os demais círculos, incluindo meridianos e paralelos, são representados como círculos ou arcos de círculos.

Em Cartografia Náutica, o principal uso da projeção estereográfica é para a construção de cartas das regiões polares.

Matemática[editar | editar código-fonte]

Pode-se demonstrar matematicamente que a esfera menos um ponto é homeomorfa ao plano, o que nos permite fazer sua projeção estereográfica no plano.

Por definição,

Assim, considere e defina a reta:

e o plano:

Assim:

Assim

Bem definida

Observemos que está bem definida pois o ponto que é o único ponto no qual ela não está definida não pertence ao domínio da Portanto esta função está definida em todo o seu domínio.

Injetora

Sejam e com e assim:

Portanto, Logo é injetora.

Sobrejetora

Tome e Considere a reta:

ponto tal que

Logo o ponto que existe é da forma:

É facilmente verificável que ou seja,

Assim concluímos que é sobrejetora e podemos definir:

Observe que

Mostrar que,

Analogamente, mostra-se que

Portanto é a inversa de

Continuidade

Como e possuem todas as funções coordenadas contínuas, já que são compostas de funções polinomiais, conclui-se que ambas são contínuas, e portanto é um homeomorfismo.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Weisstein, Eric W. "Stereographic Projection." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]
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