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Um espaço de Wiener abstrato é um objeto matemático em teoria da medida, usado para construir uma medida razoável (estritamente positiva e localmente finita) de um espaço vetorial de dimensões infinitas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener. A construção original de Wiener, conhecida como espaço de Wiener clássico, só se aplicava ao espaço de caminhos contínuos de valores reais referentes ao intervalo unitário. Leonard Gross propôs a generalização ao caso de um espaço de Banach separável comum.

O teorema da estrutura para medidas gaussianas afirma que todas as medidas gaussianas podem ser representadas pela construção de um espaço de Wiener abstrato.

Definição

Considere H um espaço de Hilbert separável, E um espaço de Banach separável e i : H → E um operador linear contínuo injetor com imagem densa (isto é, o fechamento de i(H) em E é o próprio E) que faz a transformada de Radon da medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico γ^H em H. Então, o triplo (i, H, E)(ou simplesmente i : H → E) é chamado de espaço de Wiener abstrato. A medida γ induzida em E é chamada de medida de Wiener abstrata de i : H → E.

O espaço de Hilbert H é às vezes chamado de espaço de Cameron-Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor.

Algumas fontes consideram H um subespaço de Hilbert densamente incorporado do espaço de Banach E, sendo i simplesmente a inclusão de H em E. Não há perda de generalização ao tomar o ponto de vista dos "espaços incorporados" em vez do ponto de vista dos "espaços diferentes" mencionado acima.

Propriedades

• γ é uma medida de Borel: é definida na sigma-álgebra de Borel gerada pelos subconjuntos abertos de E.
• γ é uma medida gaussiana no sentido de que f_∗(γ) é uma medida gaussiana em R para toda forma linear f ∈ E^∗, f ≠ 0.
• Portanto, γ é estritamente positiva e localmente finita.
• Se E é um espaço de Banach de dimensões finitas, podemos considerar que E é isomórfico a Rⁿ para algum n ∈ N. Considerar H = Rⁿ e i : H → E o isomorfismo canônico dá a medida de Wiener abstrata γ = γⁿ, a medida gaussiana padrão de Rⁿ.
• O comportamento de γ sob translação é descrito pelo teorema de Cameron-Martin.
• Dados dois espaços de Wiener abstratos i₁ : H₁ → E₁ e i₂ : H₂ → E₂, pode-se mostrar que γ₁₂ = γ₁ ⊗ γ₂. Em detalhe:

$(i_{1}\times i_{2})_{*}(\gamma ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\gamma ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\gamma ^{H_{2}}\right),$

isto é, a medida de Wiener abstrata γ₁₂ no produto cartesiano E₁ × E₂ é o produto das medidas de Wiener abstratas nos dois fatores E₁ e E₂.

• Se H (e E) são de infinitas dimensões, a imagem de H é um conjunto de medida zero, isto é, γ(i(H)) = 0. Este fato é uma consequência da lei zero-um de Kolmogorov.

Espaço de Wiener clássico

Ver artigo principal: Espaço de Wiener

O espaço de Wiener abstrato mais usado é o espaço de caminhos contínuos, conhecido como espaço de Wiener clássico. Este é o espaço de Wiener abstrato com

Arguably the most frequently-used abstract Wiener space is the space of continuous paths, and is known as classical Wiener space. This is the abstract Wiener space with

$H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{caminhos a partir de 0 com primeira derivada}}\in L^{2}\}$

com produto interno

$\langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t,$

E = C₀([0, T]; Rⁿ) com norma

$\|\sigma \|_{C_{0}}:=\sup _{t\in [0,T]}\|\sigma (t)\|_{\mathbb {R} ^{n}},$

e função inclusão i : H → E. Esta medida γ é chamada de medida de Wiener clássica ou simplesmente medida de Wiener.

Referências

[[Categoria::Teoria da medida]] [[Categoria::Processos estocásticos]]