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Um Sistema de Coordenadas é um sistema que atribui um ou mais números, de forma unívoca, a posição de pontos ou objetos em um espaço geométrico.

On considère que l'espace existe en lui-même indépendamment du choix d'un système de coordonnées particulier.

In geometry, a coordinate system is a system which uses one or more numbers, or coordinates, to uniquely determine the position of a point or other geometric element. The order of the coordinates is significant and they are sometimes identified by their position in an ordered tuple and sometimes by a letter, as in 'the x-coordinate'. In elementary mathematics the coordinates are taken to be real numbers, but in more advanced applications coordinates can be taken to be complex numbers or elements of a more abstract system such as a commutative ring. The use of a coordinate system allows problems in geometry to be translated into problems about numbers and vice versa; this is the basis of analytic geometry.

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".

Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.

Conceito

Em matemática, um sistema de coordenadas permite fazer corresponder a cada ponto de um espaço n-dimensional, uma n-upla (dupla, trio, quarteto, etc) de escalares. Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des nombres réels, mais il est possible d'utiliser des nombres complexes ou des éléments d'un corps commutatif quelconque. Plus généralement, les coordonnées peuvent provenir d'un anneau ou d'une autre structure algébrique apparentée.

• pour tout espace vectoriel de dimension finie et toute base, les coefficients des vecteurs exprimés dans cette base peuvent être utilisés comme coordonnées. Changer de base est une transformation de coordonnées, une transformation linéaire qui peut être définie par une matrice.

Tipos

Alguns tipos especiais de sistemas de coorderandas merecem menção especial.

Reta numérica

Ver artigo principal: Reta numérica

O mais simples exemplo de um sistema de coordenadas é a reta numérica: a associação de cada ponto de uma reta a um número real. Neste sistema, um ponto arbitrário da reta (chamado de origem) é associado ao valor zero, enquanto os demais pontos recebem o número correspondente à sua distância (com sinal) até a origem. Assim, cada ponto é associado a um único número e cada número, a um único ponto.

The number line

Coordenadas cartesianas

Ver artigo principal: Coordenadas cartesianas

The Cartesian coordinate system in the plane.

The prototypical example of a coordinate system is the Cartesian coordinate system. In the plane, two perpendicular lines are chosen and the coordinates of a point are taken to be the signed distances to the lines.

In three dimensions, three perpendicular planes are chosen and the three coordinates of a point are the signed distances to each of the planes. This can be generalized to create n coordinates for any point in n-dimensional Euclidean space.

Sur une droite affine D, un repère est la donnée de :

• Une origine O, id est un point distingué de D.
• Un vecteur v de la droite vectorielle directrice ${\vec {D}}$. Ce vecteur porte deux informations :
  • Une orientation : un point A est à droite de O lorsque le vecteur ${\vec {O}}A$ est positivement colinéaire à v.
  • Une unité : un point A est à la distance r de O lorsque ${\vec {OA}}=\pm r\cdot v$

Dans ce cas, l'abscisse du point M est l'unique réel r tel que : ${\vec {OM}}=r\cdot v$. Il y a donc une correspondance entre les points d'une droite affine et l'ensemble des réels.

Remarque : Il existe des systèmes de graduation non régulière mais le repère n'est plus appelé cartésien (voir échelle logarithmique).

En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ($\mathbf {r} _{\text{A}}={\text{OA}}\,$) sobre un eje determinado: Predefinição:Ecuación Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un versor ($\mathbf {i} \,$) tal que:

$\mathbf {i} =(1,0,0)$, cuyo módulo es $|\mathbf {i} |=1\,$.

x_\text{A} = {\text{OA} \cdot \mathbf {i} \over |\text{OA}| \cdot |\mathbf{i}|} = El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x. Predefinição:Ecuación

Coordenadas circulares e esféricas

Ver artigos principais: Coordenadas circulares e Coordenadas esféricas

Outros sistemas em duas dimensões

Ficheiro:Koordinatensysteme.svg

• Coordenadas Cartesianas
• Coordenadas Polares

Outros sistemas em três dimensões

• Cordenadas Cartesianas
• Coordenadas Cilíndricas
• Coordenadas Esféricas

Uso

Astronomia

Ver artigo principal: Coordenadas celestes

Para a astronomia é muito importante conhecer com precisão as posições dos objetos no céu. Como é muito mais importante saber a direção dos objetos do que sua distância, os sistemas de coordenadas esféricos são utilizados. O procedimento padrão, neste caso, envolve fixar uma distância-padrão para os objetos celestes, o que define a Esfera Celeste. Nessa esfera, define-se um plano fundamental e duas coordenadas: uma medida sobre o plano, outra afastando-se do plano. Entre os sistemas astronômicos mais comuns, podemos citar:

• Horizontal: toma como plano o horizonte do observador; suas coordenadas são azimute e altura.
• Equatorial: toma como plano o equador celeste; suas coordenadas são ascensão reta (ou ângulo horário) e declinação.
• Eclíptico: toma como plano a eclíptica; suas coordenadas são latitude eclíptica e longitude eclíptica.
• Galáctico: toma como plano o plano médio da Via Láctea; suas coordenadas são latitude galáctica e longitude galáctica.

Física

O sistema de coordenadas usado para descrever um sistema físico pode influenciar muito nas suas transformações e etc. Isso é especialmente importante nas formulações mais concisas e elegantes das teorias. Nos termos da Mecânica Lagrangeana, os sistemas são descritos por coordenadas generalizadas, enquanto na Mecânica Hamiltoniana utiliza-se as chamadas Coordenadas Canônicas.

Além disso, a maneira como as coordenadas físicas se transformam diz respeito ao conceito de observador utilizado em cada teoria física. No âmbito da mecânica clássica, por exemplo, as coordenadas se relacionam segundo as transformações galileanas; na relatividade restrita, elas se relacionam pelas transformações de lorentz.