Lema de Borel-Cantelli

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em teoria das probabilidades, o lema de Borel–Cantelli é um teorema sobre sequências de eventos. Em geral, é um resultado na teoria da medida. É nomeado em referência a Émile Borel e Francesco Paolo Cantelli.

Estabelecimento do lema para espaços de probabilidade[editar | editar código-fonte]

Fazendo-se (En) ser uma sequência de eventos em algum espaço de probabilidade.

O lema de Borel–Cantelli estabelece:

Se a soma das probabilidade de En é finita
\sum_{n=1}^\infty \Pr(E_n)<\infty,
então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 0, que é,
\Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0.\,

Aqui, "lim sup" denota limite superior da sequência de eventos, e cada evento é um conjunto de resultados. Isto é, lim sup En é o conjunto de resultados que ocorrem infinitamente muitas vezes dentro da sequência de eventos infinita (En). Explicitamente,

\limsup_{n\to\infty} E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k.

O teorema entretanto afirma que se a soma das probabilidades dos eventos En é finita, então o conjunto de todos os resultados que são "repetidos" infinitamente (muitas vezes) devem ocorrer com probabilidade zero. Note-se que nenhuma suposição de independência é requerida.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Por exemplo, supondo que (Xn) seja uma sequência de variáveis aleatórias com Pr(Xn = 0) = 1/n2 para cada n. A probabilidade que Xn = 0 ocorre por infinitamente muitos n é equivalente à probabilidade da intersecção de infinitamente muitos [Xn = 0] eventes. A intersecção de tais infinitamente muitos eventos é um conjunto de resultados comuns a todos eles. Entretanto, a soma ∑Pr(Xn = 0) é uma série convergente (de fato, é uma função zeta de Riemann que tende a π2/6), e então o lema de Borel–Cantelli Lemma estabelece que o conjunto de resultados que são comuns a tais infinitamente muitos eventos ocorrem com probabilidade zero. Por isso, a probabilidade de Xn = 0 ocorrendo para infinitamente muitos n é 0. Quase certamente (i.e., com probabilidade 1), Xn é não nula para todos mas finitamente muitos n.

Espaços de medida gerais[editar | editar código-fonte]

Para espaços de medida gerais, o lema de Borel–Cantelli toma a seguinte forma:

Deixa μ ser uma medida sobre um conjunto X, com σ-álgebra F, e fazendo (An) ser uma sequência em F. Se
\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty,
então
\mu\left(\limsup_{n\to\infty} A_n\right) = 0.\,

Resultado de conversão[editar | editar código-fonte]

Um resultado relacionado, algumas vezes chamado o segundo lema de Borel–Cantelli, é um conversão parcial do primeiro lema de Borel–Cantelli. Ele diz:

Sim os eventos En são independente e a soma de probabilidades de En diverge do infinito, então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 1.

A suposição de independência pode ser enfraquecido a independência paritária, mas neste caso a demonstração é mais difícil.

O teorema do macaco infinito é um caso especial deste lema.

O lema pode ser aplicado para dar cobertura ao teorema em Rn. Especificamente (Stein 1993, Lemma X.2.1[1] ), se Ej é uma coleção de subconjuntos mensurávei de Lebesgue de um conjunto compacto em Rn tais que

\sum_j \mu(E_j) = \infty,

então existe uma sequência Fj de transformações

F_j = E_j + x_j

tais que

\lim\sup F_j = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} F_k = \mathbb{R}^n

à parte de um conjunto de medida zero.

Contrapartida[editar | editar código-fonte]

Outro resultado relacionado é o assim chamado contrapartida do lema de Borel–Cantelli. É uma contrapartida do Lema no sentido que fornece uma condição necessária e suficiente para o limite superior ser 1 por substituir uma suposição de independência pela suposição completamente diferente que (A_n) é monótona crescendo para índices suficientemente grandes. Este Lema afirma:

Fazendo-se (A_n) ser tal que A_k \subseteq A_{k+1}, e fazendo \bar A denotar o complemento de A. Então a probabilidade de infinitamente muitos A_k ocorre (que é, ao menos um A_k ocorre) é um se e somente se existe uma sequência estritamente crescente de inteiros positivos ( t_k) tal que

 \sum_{k} \Pr( A_{t_{k+1}}| \bar A_{t_k}) = \infty.

Este simples resultado pode ser útil em problemas tais como no caso daqueles que envolvem precisar probabilidades para processos estocásticos com a escolha da sequência (t_k) normalmente sendo a essencial.

Referências

  1. Stein, Elias (1993), Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press .

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]