Limite (teoria das categorias)

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Em matemática, um limite direto (ou limite indutivo) é um colimite de um "limite dirigido de objetos". Primeiro daremos a definição para estruturas algébricas como grupos e módulos, e então a definição geral que pode ser usada em qualquer categoria .

Definição Formal[editar | editar código-fonte]

Objetos Algébricos[editar | editar código-fonte]

Nesta seção entenderemos os objetos como sendo conjuntos com uma dada estrutura algébrica tais como grupos, anéis, módulos (sobre um anel fixado), álgebras (sobre um anel fixado), etc. Com isto em mente "homomorfismos" estão sendo considerados no contexto correspondente (homomorfismos de grupos, de anéis, de módulos, etc).

Começamos com a definição de um sistema direto(ou sistema dirigido) de objetos e homomorfismos. Sejam \langle I,\le\rangle um conjunto dirigido e \{A_i : i\in I\} uma família de objetos indexados por I\, e  f_{ij}: A_i \rightarrow A_j um homomorfismo para todo i \le j com as seguintes propriedades:

  1. f_{ii}\, é a identidade de A_i\,, e
  2. f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij} para todo i\le j\le k.

Então o par \langle A_i,f_{ij}\rangle é chamado um sistema dirigido sobre I\,1 .

O conjunto subjacente do limite direto, A\,, de um sistema dirigido \langle A_i,f_{ij}\rangle é definido como a união disjunta dos A_i\,'s modulo uma certa relação de equivalência \sim\,:

\varinjlim A_i = \bigsqcup_i A_i\bigg/\sim.

Aqui, se x_i\in A_i e x_j\in A_j, x_i\sim\, x_j se existe algum k\in I tal que f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)\,. Heuristicamente, dois elementos da união disjunta são equivalentes se, e somente se, eles "são eventualmente iguais" no sistema dirigido. Uma formulação equivalente que clareia a dualidade com o limite inverso é que um elemento é equivalente a todas as suas imagens pelos morfismos do sistema dirigido, isto é x_i\sim\, f_{ik}(x_i).

Dessa definição obtemos "morfismos naturais" \phi_i: A_i\rightarrow A que levam um elemento na sua classe de equivalência. As operações em A\, são definidas com estes morfismos de maneira óbvia.

Uma propriedade importante é que tomar o limite direto na categoria dos módulos é um functor exato.

Limite Direto sobre um sistema dirigido numa categoria[editar | editar código-fonte]

O limite direto pode ser definido nunca categoria arbitrária \mathcal{C} por meio de uma propriedade universal. Sejam \langle X_i, f_{ij}\rangle um sistema dirigido de objetos e morfismos em \mathcal{C} (mesma definição de cima). O limite direto deste sistema é um objeto X\, em \mathcal{C} junto com os morfismos \phi_i: X_i\rightarrow X satisfazendo \phi_i =\phi_j \circ f_{ij}. O par \langle X, \phi_i\rangle deve ser universal no sentido de que para qualquer outro par \langle Y, \psi_i\rangle existe um único morfismo  u:X\rightarrow Y fazendo o diagrama

DirectLimit-01.png

comutar para todo i, j. O limite direto é geralmente denotado X = \varinjlim X_i com o sistema dirigido \langle X_i, f_{ij}\rangle sendo subtendido.

Diferentemente do caso de objetos algébricos, o limite direto pode não existir numa categoria arbitrária. Mas quando ele existe ele é único no sentido forte: dado outro limite direto X′ existe um único isomorfismo X′ → X que comuta com os morfismos naturais \phi_i: A_i\rightarrow A.

Note que um sistema dirigido num categoria \mathcal{C} admite um descrição alternativa em termos de funtores. Qualquer conjunto dirigido \langle I,\le \rangle pode ser considerado como uma categoria pequena \mathcal{I} onde os morfismo consistem das setas i\rightarrow j se, e somente se, i\le j. Um sistema dirigido é então um functor covariante \mathcal{I}\rightarrow \mathcal{C}.

Definição Geral[editar | editar código-fonte]

Sejam  \mathcal I e  \mathcal C categorias. Seja c_X: \mathcal I\rightarrow \mathcal C um functor constante com objeto fixo  X\in \mathcal C . Defina para cada functor  F: \mathcal I\rightarrow \mathcal C o functor

 \lim_{\longrightarrow} F: \mathcal C \rightarrow \mathbf{Set}

que associa a cada  X\in \mathcal C o conjunto  \mathrm{Hom}(F,c_X) das transformações naturais de F para  c_X . Se  \lim_{\longrightarrow} F é representável, o objeto representante em  \mathcal C é chamado o limite direto de F e é denotado por  \lim_{\longrightarrow }F 2 .

Se  \mathcal C é uma categoria abeliana onde somas diretas arbitrárias(possivelmente infinitas) de objetos existem (este é o axima AB3 de Grothedieck). O  \lim_{\longrightarrow} F é representável para cada functor  F: \mathcal I\rightarrow \mathcal C e

 \lim_{\longrightarrow}: \mathrm{Hom}(\mathcal I, \mathcal C)\rightarrow \mathcal C, F\mapsto \lim_{\longrightarrow} F

é um functor aditivo exato à direita de categorias abelianas.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Uma coleção de subconjuntos M_i de um conjunto M pode ser parcialmente ordenada pela inclusão. Se a coleção é dirigida, seu limite direto é a união \bigcup M_i.
  • Seja p um número primo. Considere o sistema dirigido composto dos grupos Z/pnZ e homomorfismos Z/pnZZ/pn+1Z induzidos pela multiplicação por p. O limite direto deste sistema é composto das raízes da unidade de ordem alguma potência de p, e é chamado grupo de Prüfer Z(p).
  • Seja F um feixe em um espaço topológico X. Fixe um opnto x em X. As vizinhanças abertas de x formam um sistema dirigido ordenado pela inclusão(UV se, e somente se, U contém V). O sistema direto correspondente é (F(U), rU,V) onde r é a aplicação de restrição. O limite direto deste sistema é chamado o talo de F em x, denotado Fx. Para cada vizinhança aberta U de x, o mrfismo canônico F(U) → Fx associa a cada seção s de F sobre U um elemento sx do talo Fx chamado o germe de s em x.
  • Limites diretos na categoria de espações topológicos são dados colocando a topologia final no conjunto subjacente ao limite direto.
  • Limites diretos são conectados aos inversos via
\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y).
  • Considere a sequência {An, φn} onde An é uma C*-algebra e φn : AnAn + 1 é um C*-homomorfismo. O C*-análogo da construção do limite direto dá uma C*-algebra satisfazendo a propriedade universal acima.

Construções relacionadas e generalização[editar | editar código-fonte]

A categoria dual do limite direto é chamada o limite inverso (ou limite projetivo). Conceitos mais gerais são o limites e colimites da teoria das categorias. A terminologia confunde um pouco: limites diretos são colimites enquanto limites inversos são limites.

Referências

  1. Atiyah Macdonald , "Introdution to Commutative Algebra" ,Hardcover 1969, ISBN 0-201-00361-9; Paperback 1994, ISBN 0-201-40751-5),Página 33, exercício 14.
  2. BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990. Página 84.