Problema de Basileia

Parte de uma série de artigos sobre:
a constante matemática π
3.1415926535897932384626433...
Utilização
Área do círculo Circunferência Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menor que 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Tsu Ch'ung Chih Ariabata Madhava Alcaxi Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu William Jones John Machin William Shanks Srinivāsa Rāmānujan John Wrench Yasumasa Kanada
História
Cronologia Livro
Na cultura
Projeto de lei de Indiana Dia do Pi
Tópicos relacionados
Quadratura do círculo Problema de Basileia Seis noves em pi

O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735. Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito.

O problema de Basileia consiste em encontrar a soma exata dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos, isto é, a soma exata da série infinita:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)$

A prova de Euler

A prova formulada por Euler parte da série de Taylor para a função seno, ou seja

$${\rm {sen}}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$$

que conduz à fórmula

${\begin{aligned}{\frac {{\rm {sen}}(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$ (1)

Para um polinômio geral de grau n, ${\textstyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n},a_{0}=1}$ em que ${\textstyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ são n raízes de ${\textstyle p(x)}$, vale a seguinte decomposição:

$$p(x)=\left(1-{\frac {x}{x_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {x}{x_{n}}}\right)$$

Visto que as raízes de ${\frac {{\rm {sen}}(x)}{x}}$ ocorrem exatamente quando ${\textstyle x=n\cdot \pi }$ em que $n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \,$, Euler assumiu que pode-se expressar a série infinita em questão como o produto das diversas raízes, tal como um polinômio finito, i.e.:

$${\begin{aligned}{\frac {{\rm {sen}}(x)}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}$$

Desenvolvendo-se o produto, obtém-se:

$${\frac {{\rm {sen}}(x)}{x}}=1-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)x^{2}+\cdots$$

comparando-se esta igualdade com a expressão (1), constata-se, pelos termos que acompanham o ${\textstyle x^{2}}$, que

$$-{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2}}}-\cdots$$

Evidenciando-se o ${\textstyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}}$, segue que

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\cdot$$

Crítica à demonstração de Euler

Nos dias atuais, a prova apresentada por Euler não seria considerada válida; não há dúvidas, todavia, de que o resultado está correto. A crítica que se faz fundamenta-se no argumento de que séries de potências não são polinômios, e, portanto, não compartilham todas as suas propriedades, não sendo válida, pois, a utilização da decomposição apresentada. Genericamente, de fato, não é válida; na função sen(x)/x, contudo, ela funciona, visto que outras demonstrações mais minuciosas conduzem ao mesmo resultado. Faltou a Euler, em seu tempo, uma abordagem mais elaborada da Análise utilizando quantidades infinitas e infinitesimais.