Série de Taylor

Em matemática, a série de Taylor é mar aze uma série de funções da seguinte forma:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\quad {\mbox{na qual }}a_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}$

Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma série de funções ao redor de um ponto. Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real $f(x)$ ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira:

$f(x)=f(a)\left(x-a\right)^{0}+{\frac {f'(a)\left(x-a\right)^{1}}{1!}}+{\frac {f''(a)\left(x-a\right)^{2}}{2!}}+...+{\frac {f^{(n)}(a)\left(x-a\right)^{n}}{n!}}$

A constante $a$ é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).

Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência

Toda série de Taylor possui um raio de convergência $R$ com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) $|x-a|\leq r<R$.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

$R^{-1}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}$

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convirja para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

$f(x)={\begin{cases}\exp(-1/x)&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}$

cuja série de Taylor é

$f(x)=0+0x+0x^{2}+\ldots$

Série de Taylor associada a uma função

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.

A série de Taylor associada a uma função $f$ infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (a − r, a + r) é a série de potências dada por

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$

Onde, n! é o fatorial de n e f ⁽ⁿ⁾(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns

Função exponencial e logaritmo natural:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ para todo }}x$

$\ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

Série geométrica:

${\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

Teorema binomial:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\alpha }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ para todo }}\left|x\right|<1\quad {\mbox{ e todo complexo }}\alpha$

Funções trigonométricas:

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..{\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

onde Bs são números de Bernoulli.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

Funções hiperbólicas:

$\sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x$

$\cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ para todo }}x$

$\tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\mathrm {arcsen} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

$\mathrm {arctan} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1$

Função W de Lambert:

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}$

Série de Taylor em várias variaveis

A série de Taylor pode também ser definida para funções de $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de $f$ em torno do ponto $X_{0}=(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})$ é dada por:

$f(x_{1},\cdots ,x_{n})=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k},$

onde $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})\right)^{k}$ denota ${\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(X_{0}).$

Ou seja, tem-se:

$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{0})(x_{i}-x_{i}^{0})\right)^{k}=\sum \limits _{\alpha _{i}\in \mathbb {N} ,\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}\left({\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}\cdot {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(X_{0})\cdot (x_{1}-x_{1}^{0})^{\alpha _{1}}\cdots (x_{n}-x_{n}^{0})^{\alpha _{n}}\right).$

No caso particular $n=2$, $X_{0}=(x_{0},y_{0}):$

$f(x,y)=\sum \limits _{k\geq 0}{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {k!}{i!(k-i)!}}\cdot {\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i}}}(X_{0})\cdot {\frac {\partial ^{k-i}f}{\partial y^{k-i}}}(X_{0})\cdot (x-x_{0})^{i}\cdot (y-y_{0})^{k-i}.$