Teoria Acústica é um campo cientifico que relaciona a descrição de ondas sonoras. Ela é derivada da mecânica dos fluidos. Veja acústica para a abordagem da engenharia.
A propagação de ondas sonoras em fluidos (como a água) pode ser modelado por uma equação de continuidade (conservação da massa) e uma equação de movimento (conservação do momento) . Com algumas simplificações, em particular densidade constante, elas podem ser dadas como segue:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial t}}+\kappa ~\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\qquad {\text{(Equilíbrio da massa)}}\\\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla p&=0\qquad {\text{(Equilíbrio do momento)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c8e5c5c5f574442ae31e150be10cf1f0fa367d)
onde
é a pressão acústica e
é o vetor da velocidade de fluxo,
é o vetor das coordenadas espaciais
,
é o tempo,
é a densidade de massa estática do meio e
é o Módulo volumétrico do meio. O módulo volumétrico pode ser expressado nos termos da densidade e a velocidade do som no meio (
) como
![{\displaystyle \kappa =\rho _{0}c_{0}^{2}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5112d86c7dc31f81c2eb721664e23865c90bf1b2)
Se o campo velocidade de fluxo é irrotacional,
, então a equação da onda é a combinação desses dois conjuntos de equações de equilíbrio e pode ser expressado como [1]
![{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\mathbf {u} =0\qquad {\text{or}}\qquad {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ab1ebe1e2ef3875593062bbc165042adaf1772)
onde nós usamos o vetor laplaciano,
.
A equação da onda (e as equações de equilíbrio da massa e do momento) são frequentemente expressas nos termos de um potencial escalar
onde
. Neste caso a equação da onda é escrita como
![{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\varphi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88b2b7ca2eadc23b42880916447601e254cf464)
e o momento de equilíbrio e o equilíbrio da massa são expressados como
![{\displaystyle p+\rho _{0}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~;~~\rho +{\cfrac {\rho _{0}}{c_{0}^{2}}}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474dc32ed4ebfbcfa8b55b9f966ff00962f7bd22)
As derivadas das equações acima para ondas em um meio acústico são dadas abaixo.
As equações para a conservação do momento linear para o meio fluido são
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {g} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202464382521f62520db97b035fc3a97fcbf38cb)
onde
é a força do corpo por unidade de massa,
é a pressão, e
é a desvio de tensão. Se
é o [[Tensor tensão de Cauchy|tensor Cauchy], então
![{\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}~{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})~;~~{\boldsymbol {\sigma }}:=-p{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {\tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d460ea1b8a08af01a20593cea040db24da77a2)
onde
é um tensor de segunda ordem.
Nós fazemos diversas suposições para derivar a equação do momento de equilíbrio para um meio acústico. Essas suposições e as formas resultantes da equação de momento são destacadas abaixo.
Em acústica, o meio do fluído é assumida como sendo Newtoniano. Para um fluido Newtoniano, o tensor de desvio de tensão é relacionado a velocidade de fluxo por
![{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu ~\left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right]+\lambda ~(\nabla \cdot \mathbf {u} )~{\boldsymbol {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffceb4db528b36e739f8ff1695e993b51c5f1da9)
onde
é a viscosidade de cisalhamento e
é a viscosidade do módulo.
Assim sendo, a divergência de
é dada por
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\equiv {\cfrac {\partial s_{ij}}{\partial x_{i}}}&=\mu \left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]+\lambda ~\left[{\cfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}\right)\right]\delta _{ij}\\&=\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{i}}}+\lambda ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}\\&=(\mu +\lambda )~{\cfrac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu ~{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}^{2}}}\\&\equiv (\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu ~\nabla ^{2}\mathbf {u} ~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb3148adbff7f31faa4d7322919173d52a0a650)
Usando a identidade
, nós temos
![{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu ~\nabla \times \nabla \times \mathbf {u} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb86f252ddc70a7a8914199d9497fa0f01d43ef)
As equações de conservação do momento então podem ser escritas como
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu ~\nabla \times \nabla \times \mathbf {u} +\rho \mathbf {g} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0db1ac5fb39c7f2c427ca15ff10e747d275eb86)
Para a maioria dos problemas de acústica nós assumimos que o fluxo é irrotacional, isso é, a vorticidade é zero. Neste caso
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a522a7d1316f10b7430ea494ca6d275d51b3d0e)
e a equação de momento pode ser reduzida para
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749bb2a7f604f132fc0505a56d03a83023149a7d)
Outro suposição frequentemente feita é de que o efeito das forças do corpo no meio do fluido é negligenciável. A equação de momento então simplifica ainda mais para
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+(2\mu +\lambda )~\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeeb93cc364077bd9fc12bfbdf4b76397deee9f)
Adicionalmente, se nós assumimos que não há forças viscosas no meio (as viscosidades de massa e cisalhamento são zero), a equação do momento assume a forma
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f7b4f616301c916ea894263dde5c5d13f44f6a)
Uma importante suposição de simplificação para equações de onda é que a amplitude de perturbação das grandezas de campo é pequena. Esta suposição nos leva para a equação linear ou equação de pequenos sinais acústicos de onda. Então nós podemos expressar as variáveis como a soma do (média de tempo) campo médio (
) que varia no espaço e um pequeno campo flutuante (
) que varia no espaço e tempo. Que é
![{\displaystyle p=\langle p\rangle +{\tilde {p}}~;~~\rho =\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}~;~~\mathbf {u} =\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b08c00528db0cf7db3894ab09e840991c0da62)
e
![{\displaystyle {\cfrac {\partial \langle p\rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \rho \rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \mathbf {u} \rangle }{\partial t}}=\mathbf {0} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670764686d66b06428e62896446d19bcbbbec81b)
Então a equação de momento pode ser expressa como
![{\displaystyle \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\cdot \nabla \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]\right]=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40512e54af694d92ba1dc0c19b69f850ce1ea79)
Como as flutuações são assumidas como pequenas, produtos dos termos flutuantes podem ser negligenciados (para primeira ordem) e nós temos
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}&+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]\\&=-\nabla \left[\langle p\rangle +{\tilde {p}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0f83ab1e8686dfcd71be55d066dc7c6477a13b)
Em seguida, assumidos que o meio é homogêneo; no sentido de que as variáveis de média do tempo
e
tem gradientes nulos, que é,
![{\displaystyle \nabla \langle p\rangle =0~;~~\nabla \langle \rho \rangle =0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407a268690175793a1865d1e13eb0eb6e077af7c)
A equação momento então se torna
![{\displaystyle \langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]+\langle \rho \rangle \left[\langle \mathbf {u} \rangle \cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla \langle \mathbf {u} \rangle \right]=-\nabla {\tilde {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e1d9870083de7a2ec74355c955f7731902ab95)
Neste estágio nos assumimos que o meio está em repouso, o que implica, que a velocidade média de fluxo é zero, isto é,
. Então o balanço do momento se reduz para
![{\displaystyle \langle \rho \rangle ~{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial t}}=-\nabla {\tilde {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bea623373da38d7dacd2dea980e6ca74a27d683)
Deixando cair os tis e usando
, nós obtemos a comumente usada forma da equação de momento
![{\displaystyle \rho _{0}~{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla p=0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12074c0586e57c2a6ce85c2c9bd553e162c01ca)
A equação para a conservação da massa em um volume de fluido (sem nenhuma fonte de massa ou sumidouro) é dada por
![{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2567e1f460ceb134fd751701f777e0f1931aa7a1)
onde
é a densidade da massa do fluido e
a velocidade de fluxo.
A equação para a conservação de massa para médio acústico pode também ser derivado em uma maneira similar para aquela usada para a conservação do momento.
Da suposição de pequenas perturbações nós temos
![{\displaystyle p=\langle p\rangle +{\tilde {p}}~;~~\rho =\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}~;~~\mathbf {u} =\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b08c00528db0cf7db3894ab09e840991c0da62)
e
![{\displaystyle {\cfrac {\partial \langle p\rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \rho \rangle }{\partial t}}=0~;~~{\cfrac {\partial \langle \mathbf {u} \rangle }{\partial t}}=\mathbf {0} ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670764686d66b06428e62896446d19bcbbbec81b)
Então a equação da massa pode ser escrita como
![{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \left[\langle \mathbf {u} \rangle +{\tilde {\mathbf {u} }}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ac647bd1b51d88e3628e2b280a540e6de99ec5)
Se nós negligenciarmos esses termos da primeira ordem nas flutuações, a equação da massa se torna
![{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla \left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\nabla \langle \rho \rangle \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23d73e230210fa880b4568f1b55cc74d64c90e4)
Em seguida nós assumimos que o meio é homogêneo, ou seja,
![{\displaystyle \nabla \langle \rho \rangle =0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf4cee98425e4dd3f150afe59bb64308f43385b)
Então a equação de equilíbrio da massa toma a forma
![{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\left[\langle \rho \rangle +{\tilde {\rho }}\right]\nabla \cdot \langle \mathbf {u} \rangle +\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}+\nabla {\tilde {\rho }}\cdot \langle \mathbf {u} \rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3960d8d72513773489d66b2ba76ea4b0bc95658)
Neste estágio nós assumimos que o meio está em repouso, ou seja,
. Então a equação de equilíbrio da massa pode ser expressada como
![{\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}+\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d125745a811be76e9782ea74548d3728e1faa3a)
Suposição 4: Gás ideal, adiabático, reversível[editar | editar código-fonte]
Para fechar o sistema de equações nós precisamos de uma equação de estado para a pressão. Para fazer aquilo nós assumimos que o meio é um gás ideal e todas as ondas acústicas comprimem o meio em um adiabático e reversível maneira. A equação de estado pode então ser expressa na forma de uma equação diferencial:
![{\displaystyle {\cfrac {dp}{d\rho }}={\cfrac {\gamma ~p}{\rho }}~;~~\gamma :={\cfrac {c_{p}}{c_{v}}}~;~~c^{2}={\cfrac {\gamma ~p}{\rho }}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307655975386be3e54826ada589c35eedbe029f6)
onde
é o calor específico em pressão constante,
é o calor específico em volume constante, e
é a velocidade da onda. O valor de
é 1.4 se o meio acústico é ar.
Para pequenas perturbações
![{\displaystyle {\cfrac {dp}{d\rho }}\approx {\cfrac {\tilde {p}}{\tilde {\rho }}}~;~~{\cfrac {p}{\rho }}\approx {\cfrac {\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}~;~~c^{2}\approx c_{0}^{2}={\cfrac {\gamma ~\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce54c13825404cf14a55dabec52d00fe518455e)
onde
é a velocidade do som no meio.
Sendo assim,
![{\displaystyle {\cfrac {\tilde {p}}{\tilde {\rho }}}=\gamma ~{\cfrac {\langle p\rangle }{\langle \rho \rangle }}=c_{0}^{2}\qquad \implies \qquad {\cfrac {\partial {\tilde {p}}}{\partial t}}=c_{0}^{2}{\cfrac {\partial {\tilde {\rho }}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c574dd51a84e714911b476e19be2630d10910c6)
O equilíbrio de massa então pode ser escrito como
![{\displaystyle {\cfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial {\tilde {p}}}{\partial t}}+\langle \rho \rangle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {u} }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6150aea1afb587665c465c08cf93a9df13aeb0d4)
Deixando cair os tis e definindo
nos da a comumente utilizada expressão para o equilíbrio de massa em um meio acústico:
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}+\rho _{0}~c_{0}^{2}~\nabla \cdot \mathbf {u} =0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce28704f2616e72a29758de68fcfbb5a9b49ffe3)
Equações governantes em coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]
Se nós usarmos um sistema de coordenadas cilíndricas
com vetores base
, então o gradiente de
e a divergência de
são dados por
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla p&={\cfrac {\partial p}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\\\nabla \cdot \mathbf {u} &={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6294b5613c478dfbd5c4036f5ab292ddefa20ad2)
onde a velocidade de fluxo pode ser expressada como
.
A equação para a conservação do momento pode ser escrita como
![{\displaystyle \rho _{0}~\left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial t}}~\mathbf {e} _{z}\right]+{\cfrac {\partial p}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b1aae42ee36c0cc3e9cbc7855beeff5bd385aa)
Em termos de componentes, essas três equações para a conservação do momento em coordenadas cilíndricas são
![{\displaystyle \rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial t}}+{\cfrac {\partial p}{\partial r}}=0~;~~\rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial t}}+{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial p}{\partial \theta }}=0~;~~\rho _{0}~{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial t}}+{\cfrac {\partial p}{\partial z}}=0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9773d7f684c0968c7bf7cba6a6540709b115425)
A equação para a conservação da massa pode similarmente ser escrita em coordenadas cilíndricas como
![{\displaystyle {\cfrac {\partial p}{\partial t}}+\kappa \left[{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right]=0~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e0e691b30273e708b9c5c2f113da1a3682c99e)
Equações acústicas harmônicas temporais em coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]
As equações acústicas para a conservação do momento e da conservação de massa são frequentemente expressas no tempo na uma forma harmônica (em frequência fixa). Neste caso, as pressões e a velocidade de fluxo são assumidas como funções harmônicas de tempo na forma
![{\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)={\hat {p}}(\mathbf {x} )~e^{-i\omega t}~;~~\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {x} )~e^{-i\omega t}~;~~i:={\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dde08821e50886c604851b6b90d9e3ebef7efb5)
onde
é a frequencia. A substituição dessas expressões em equações governantes em coordenadas cilíndricas nos da a forma de frequencia fixa da conservação de momento
![{\displaystyle {\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial r}}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{r}~;~~{\cfrac {1}{r}}~{\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial \theta }}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{\theta }~;~~{\cfrac {\partial {\hat {p}}}{\partial z}}=i\omega ~\rho _{0}~{\hat {u}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c2afce5ac2f37603c83977abbb793192572fab)
e a forma de frequencia fixa da conservação de massa
![{\displaystyle {\cfrac {i\omega {\hat {p}}}{\kappa }}={\cfrac {\partial {\hat {u}}_{r}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial {\hat {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}+{\hat {u}}_{r}\right)+{\cfrac {\partial {\hat {u}}_{z}}{\partial z}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94d046387cb70179fbcea5fe981fffdddbb91f2)
Nesse caso especial onde as quantidades de campo são independentes da coordenada z nós podemos eliminar
para conseguir
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}~p=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d08b0a2aa6bf3edfed35ec4b875f86fdbeaac98)
Assumindo que a solução para está equação possa ser escrita como
![{\displaystyle p(r,\theta )=R(r)~Q(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c640ac76c74dca8041e7b5cf50e4fcc79c518589)
nós podemos escrever a equação diferencial parcial como
![{\displaystyle {\cfrac {r^{2}}{R}}~{\cfrac {d^{2}R}{dr^{2}}}+{\cfrac {r}{R}}~{\cfrac {dR}{dr}}+{\cfrac {r^{2}\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}=-{\cfrac {1}{Q}}~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d94e616648866e4bd84eeec01a8ce8e3c9211b)
O lado esquerdo não é uma função de
enquanto que o lado direito não é uma função de
. Consequentemente,
![{\displaystyle r^{2}~{\cfrac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r~{\cfrac {dR}{dr}}+{\cfrac {r^{2}\omega ^{2}\rho _{0}}{\kappa }}~R=\alpha ^{2}~R~;~~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}=-\alpha ^{2}~Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009e678070482694540b3e0dc4d8abb257d98d94)
onde
é uma constante. Usando a substituição
![{\displaystyle {\tilde {r}}\leftarrow \left(\omega {\sqrt {\cfrac {\rho _{0}}{\kappa }}}\right)r=k~r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da6259f544ffbf34fa91b8edd1da38f7194378c)
nós temos
![{\displaystyle {\tilde {r}}^{2}~{\cfrac {d^{2}R}{d{\tilde {r}}^{2}}}+{\tilde {r}}~{\cfrac {dR}{d{\tilde {r}}}}+({\tilde {r}}^{2}-\alpha ^{2})~R=0~;~~{\cfrac {d^{2}Q}{d\theta ^{2}}}=-\alpha ^{2}~Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a47f39993df156eb27d3b75dff80dc4f52c3e9)
A equação a esquerda é uma Equação de Bessel, que tem a solução geral
![{\displaystyle R(r)=A_{\alpha }~J_{\alpha }(k~r)+B_{\alpha }~J_{-\alpha }(k~r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b148512699a1a257d19ee86e8122af2bc16d1ed0)
onde
é a função de Bessel cilíndrica de primeiro tipo e
são constantes indeterminadas. A equação a direita possui a solução geral
![{\displaystyle Q(\theta )=C_{\alpha }~e^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }~e^{-i\alpha \theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919980a25638ce0585158cfc8dad81e113f3fd5d)
onde
são constantes indeterminadas. Então a solução para a equação de onda acústica é
![{\displaystyle p(r,\theta )=\left[A_{\alpha }~J_{\alpha }(k~r)+B_{\alpha }~J_{-\alpha }(k~r)\right]\left(C_{\alpha }~e^{i\alpha \theta }+D_{\alpha }~e^{-i\alpha \theta }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de433e62804358d7a32e6cc88196e28cf149a62)
Condições de limite são necessárias neste estágio para determinar
e as outras constantes indeterminadas.
- ↑ Douglas D. Reynolds. (1981). Engineering Principles in Acoustics, Allyn and Bacon Inc., Boston.