Usuário:Beremiz/est.n.º002

Elemento neutro, em matemática, é aquele cuja utilização numa operação matemática bem definida não causa alteração de identidade no outro elemento com o qual entra em operação — por essa razão simples a justificar a sua neutralidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de elemento identidade. Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de neutro ou ainda de identidade (mais infrequente).

Esta, contudo, é uma definição simples ou ingênua da idéia de elemento neutro. A sua conceituação ou definição formal passará a ser apresentada logo a seguir.

Trata-se de conceito universal, cuja generalização lógica integra o conjunto de idéias que conduzem ao alcance — ou melhor, projetam o alcance — da extraordinária estrutura de unidade da Matemática.

Nomenclatura

Elemento neutro também costuma ser chamado de elemento identidade, embora a primeira forma seja quase unânime entre as culturas. Com efeito, como um elemento com tal propriedade não causa alteração na identidade (natureza ou valor) do elemento com o qual é operado binariamente, é compreensível chamá-lo também "elemento identidade", no sentido de "elemento [que, doutro envolvido operando, preserva a] identidade". Essa nomenclatura, porém, é minoritariamente utilizada. Basta observar que a quase totalidade das culturas prefere o equivalente vernáculo de "elemento neutro". Exceção notável é a cultura anglófona (EUA e Cia.), que, conquanto use também ', prefere, todavia, , redirecionando aquela forma a esta última.

Definição formal

Dado um sistema matemático S, vale dizer um conjunto C munido de uma operação *, tal que se possa representar por S = {C, *}, e dado um elemento qualquer E, pertencente a C:

• Chama-se elemento neutro ao elemento "N" tal que:

1. N * E = E e E * N = E, irrestritamente: o elemento é dito "elemento neutro bilateral", "elemento neutro irrestrito" ou "elemento neutro" simplesmente, pois aplicado à esquerda ou aplicado à direita do outro operando, inaltera-lhe a identidade, reproduz, pois, o mesmo elemento "E";
2. N * E = E mas E * N ≠ E, restritamente: o elemento é dito "elemento neutro à esquerda apenas", pois só operado à esquerda inaltera o outro operando;
3. E * N = E mas N * E ≠ E, restritamente: o elemento é dito "elemento neutro à direita apenas", pois só operado à direita inaltera o outro operando.

Os conceitos de "esquerda" e de "direita, aqui, não tem significação proprietária de posição espacial, pelo menos não necessariamente. "Esquerda" e "direita" como aqui empregados, referem-se a domínios de ordem matemática: podem significar "antes" e "depois", respectivamente (ou o contrário, se assim for definido) e podem, efetivamente, signifcar, por simplicidade, também as idéias ordinárias de esquerda e de direita, respectivamente.

Relativamente a uma dada operação binária num dado sistema matemático, cuja estrutura algébrica seja conforme, ao ser operado com outro qualquer elemento do mesmo sistema, não lhe causa alteração na identidade (natureza ou valor). A conformidade expressa na definição implica ser o sistema matemático em causa dotado de estrutura algébrica de monóide ou superior (grupo, corpo etc.).

Inverso e Neutro

A idéia de elemento neutro, em Matemática — lato sensu, para incluir as Lógicas, as Lógicas matemáticas, a Semiologia etc. — coneta-se logicamente com a idéia de elemento inverso, nos seguintes termos:

• Dado um conjunto "C" e um elemento "E" a ele pertecente, chama-se elemento inverso composicional, relativamente a uma dada lei de composição definida por $*_{i}$ ao elemento "I" (ou, mais precisamente, "I_*i") tal que:

$E*_{i}I=I*_{i}E=N$

Para fixação imediata e simples de idéias, ao se tratar de conjuntos numéricos unidimensionais (aqueles definidos sobre um espaço vetorial Rⁿ = R¹ = R, em que "R" figura como o conjunto dos números reais e "n" = 1 figura como a dimensão linear do espaço vetorial em exame), por exemplo, qualquer dos conjuntos numéricos que são subconjuntos amplos de R, fala-se mais comumente em:

1. Inverso aditivo: o elemento (procurado) que somado com um elemento (dado) resulta o elemento neutro aditivo, nestes casos, precisamente o número zero. Assim, -3 é o inverso aditivo de +3, pois (-3) + (+3) = 0. Conversamente, +3 é o inverso aditivo de -3. Fala-se, então, em pares conjugados de inversos aditivos. Também: (+½ e -½), (+π e -π) etc... são outros pares conjugados de inversos aditivos. Costuma-se chamar ao inverso aditivo também elemento oposto aditivo (ou, simplesmente, oposto, quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Ainda se usam os termos elemento simétrico aditivo ou, simplesmente — ressalva feita — simétrico.
2. Inverso multiplicativo: o elemento (procurado) que multiplicado por um elemento (dado) resulta o elemento neutro multiplicativo, nestes casos, precisamente o número um. Assim, 1/3 é o inverso aditivo de 3, pois (1/3) . (3) = 1. Conversamente, 3 é o inverso multiplicativo de (1/3). Fala-se, também, em pares conjugados de inversos multiplicativos. Também: (2 e 1/2), (π e 1/π) etc... são outros pares conjugados de inversos multiplicativos. Costuma-se chamar ao inverso multiplicativo também elemento oposto multiplicativo (ou, simplesmente, oposto, quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo uso do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco). Também se usam os termos elemento simétrico multiplicativo ou, simplesmente — ressalva feita — simétrico.

Contudo, é preciso ter em mente que os exemplos relacionados às leis de composição "adição" e "multiplicação", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "Rⁿ", não são os únicos, tampouco necessariamente os mais importantes irrestritamente — embora seja certo reconhecer que são muito importantes na prática do dia-a-dia. Com efeito, não apenas o matemático abstrato (o cientista, o pesquisador, o profissional...) lida com muitíssimos outros exemplos de inversos e de neutros, mas, também, o cidadão comum, frequentemente sem o saber sequer. Apenas para fixar idéias nesse domínio, suponha-se o seguinte exemplo simples: (1) alguém dá um passo adiante; (2) a seguir, esse alguém dá um passo atrás, retornando à posição originária; (3) é certo, pois, conhecer o par ("passo adiante" e "passo atrás") como par conjugado de "inversos de passo" (vetores unidimensionais?...) e o resultado (retorno ao ponto de partida) como o "elemento neutro de passo". Este exemplo — extremamente simples — foi citado para salientar a absoluta generalidade da presença de tais estruturas na lida abstrata e também na prática do dia-a-dia.

Alguns exemplos

Conjunto	Operação	Elemento neutro
Números reais	+ (adição)	0 (número zero)
Números reais	• (multiplicação)	1 (número um)
Números reais	ab (exponenciação)	1 (neutro à direita apenas)
Matrizes m-por-n	+ (adição)	Matriz nula
Matrizes quadradas n-por-n	• (multiplicação)	Matriz identidade
Qualquer função de um conjunto M por si mesma	Composição de funções)	Transformação identidade
Qualquer função de um conjunto M por si mesma	* (Convolução)	δ (Delta de Dirac)
Cadeia de caracteres, listas	Concatenação	Cadeia vazia, lista vazia
Números reais extendidos	Mínimo/Ínfimo	+∞
Números reais extendidos	Máximo/Supremo	−∞
Subconjuntos de um conjunto M	∩ (Interseção)	M
Conjuntos	∪ (União)	{ } (Conjunto vazio)
Álgebra booleana	∧ ("E" lógico)	⊤ (Verdade)
Álgebra booleana	∧ ("Ou" lógico)	⊥ (Falsidade)
Superfícies fechadas	# (Soma conetada)	S²
Apenas dois elementos {e, f}	Operação * definida por (1) e * e = f * e = e   e (2) f * f = e * f = f	e e f são ambos neutros à esquerda, porém não existem neutros à direita ou tampouco neutro bilateral

Como se nota do último exemplo, é possível para um dado sistema (S,*) haver vários elementos neutros à esquerda. De fato, cada elemento pode ser um neutro à esquerda. De modo semelhante, pode haver vários elementos neutros à direita. Quando houver ambos os elementos neutros, o neutro à esquerda e o neutro à direita e se eles forem iguais entre si, então dir-se-á haver um elemento neutro bilateral simples ou — por simplicidade, quando não houver possibilidade de confusão, ou pelo emprego do termo em domínio específico, inambíguo, unívoco — apenas elemento neutro. Isso pode ser expresso pela seguinte sentença lógica:

Se l é um elemento neutro à esquerda e r é um elemento neutro à direita, então l = l * r = r.

Não pode haver mais que dois elementos neutros unilaterais. Quando houver dois, e e f, então e * f será necessariamente igual ou a e ou a f.

Sob o aspecto amplo matemático, todo-inclusivo e todo-exclusivo, são certamente possíveis álgebras que não tenham elemento neutro (ou, se se preferir, que tenham nenhum elemento neutro). Podem-se citar como exemplos triviais as operações binárias vetoriais produto escalar e produto vetorial, construídas sobre espaços vetoriais Rⁿ (R = conjunto dos números reais e n (número natural) ≥ 1). No primeiro caso (o do produto escalar), a inexistência do elemento neutro deve-se ao fato de que, se os dois operandos são grandezas vetoriais, o seu resultado-produto, todavia, é uma quantidade escalar (um número real, lato sensu). Já no segundo caso, a inexistência do elemento neutro deve-se ao fato de que a direção de qualquer produto vetorial não-nulo é sempre ortogonal aos operandos, de modo que não é possível, por definição, obter um vetor-resultado com a mesma direção que a de qualquer dos operandos.

Ver também

• Elemento inverso
• Inverso aditivo
• Monóide
• Semigrupo
• Unital

Categoria:Álgebra Categoria:Álgebra abstrata *Elemento neutro Categoria:Um