Espaço de Wiener abstrato

Um espaço de Wiener abstrato é um objeto matemático em teoria da medida, usado para construir uma medida razoável (estritamente positiva e localmente finita) de um espaço vetorial de dimensões infinitas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener. A construção original de Wiener, conhecida como espaço de Wiener clássico, só se aplicava ao espaço de caminhos contínuos de valores reais referentes ao intervalo unitário. Leonard Gross propôs a generalização ao caso de um espaço de Banach separável comum.

O teorema da estrutura para medidas gaussianas afirma que todas as medidas gaussianas podem ser representadas pela construção de um espaço de Wiener abstrato.

Definição

Considere $H$ um espaço de Hilbert separável, $E$ um espaço de Banach separável e $i:H\rightarrow E$ um operador linear contínuo injetor com imagem densa (isto é, o fechamento de $i(H)$ em $E$ é o próprio $E$) que radonifica a medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico $\gamma ^{H}$ em $H$. Então, o triplo $(i,H,E)$(ou simplesmente $i:H\rightarrow E$) é chamado de espaço de Wiener abstrato. A medida $\gamma$ induzida em $E$ é chamada de medida de Wiener abstrata de $i:H\rightarrow E$.

O espaço de Hilbert $H$ é às vezes chamado de espaço de Cameron-Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor.

Algumas fontes consideram $H$ um subespaço de Hilbert densamente incorporado do espaço de Banach $E$, sendo $i$ simplesmente a inclusão de $H$ em $E$. Não há perda de generalização ao tomar o ponto de vista dos "espaços incorporados" em vez do ponto de vista dos "espaços diferentes" mencionado acima.

Propriedades

• $\gamma$ é uma medida de Borel: é definida na sigma-álgebra de Borel gerada pelos subconjuntos abertos de $E$.
• $\gamma$ é uma medida gaussiana no sentido de que $f_{*}(\gamma )$ é uma medida gaussiana em $R$ para toda forma linear $f\in E^{*}$, $f\neq 0$.
• Portanto, $\gamma$ é estritamente positiva e localmente finita.
• Se $E$ é um espaço de Banach de dimensões finitas, podemos considerar que $E$ é isomórfico a $R^{n}$ para algum $n\in N$. Considerar $H=R^{n}$ e $i:H\rightarrow E$ o isomorfismo canônico dá a medida de Wiener abstrata $\gamma =\gamma ^{n}$, a medida gaussiana padrão de $R^{n}$.
• O comportamento de $\gamma$ sob translação é descrito pelo teorema de Cameron-Martin.
• Dados dois espaços de Wiener abstratos $i_{1}:H_{1}\rightarrow E_{1}$ e $i_{2}:H_{2}\rightarrow E_{2}$, pode-se mostrar que $\gamma$₁₂ $=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}$. Em detalhe:

$(i_{1}\times i_{2})_{*}(\gamma ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\gamma ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\gamma ^{H_{2}}\right),$

isto é, a medida de Wiener abstrata $\gamma$₁₂ no produto cartesiano $E_{1}\times E_{2}$ é o produto das medidas de Wiener abstratas nos dois fatores $E_{1}$ e $E_{2}$.

• Se $H$ (e $E$) são de infinitas dimensões, a imagem de $H$ é um conjunto de medida zero, isto é, $\gamma (i(H))=0$. Este fato é uma consequência da lei zero-um de Kolmogorov.

Espaço de Wiener clássico

Ver artigo principal: Espaço de Wiener

O espaço de Wiener abstrato mais usado é o espaço de caminhos contínuos, conhecido como espaço de Wiener clássico. Este é o espaço de Wiener abstrato com

$H:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{caminhos a partir de 0 com primeira derivada}}\in L^{2}\}$

com produto interno

$\langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t,$

$E=C_{0}([0,T];R^{n})$com norma

$\|\sigma \|_{C_{0}}:=\sup _{t\in [0,T]}\|\sigma (t)\|_{\mathbb {R} ^{n}},$

e função inclusão $i:H\rightarrow E$. Esta medida $\gamma$ é chamada de medida de Wiener clássica ou simplesmente medida de Wiener.