Espaço de Wiener

Norbert Wiener

Em matemática, o espaço de Wiener clássico é a compilação de todas as funções contínuas em um dado domínio (geralmente um subintervalo da reta real), assumindo valores em um espaço métrico (geralmente um espaço euclidiano de $n$ dimensões). O espaço de Wiener clássico é útil no estudo de processos estocásticos cujos caminhos amostrais forem funções contínuas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener.

Definição

Considere $E\subseteq R^{n}$ e um espaço métrico $(M,d)$. O espaço de Wiener clássico $C(E;M)$ é o espaço de todas as funções contínuas $f:E\rightarrow M$ para todo $t$ fixado em $E$,

$d(f(s),f(t))\to 0$ as $|s-t|\to 0.$

Em quase todas as aplicações, toma-se $E=[0,T]$ ou $[0,+\infty )$ e $M=R^{n}$ para algum $n$ em $N$. Por brevidade, escreve-se $C$ para $C([0,T];R^{n})$; este é um espaço vetorial. Escreve-se $C_{0}$ para o subespaço linear que consiste apenas daquelas funções que tomam valor $0$ no ínfimo do conjunto $E$. Muitos autores se referem a $C_{0}$ como "espaço de Wiener clássico".

Propriedades do espaço de Wiener clássico

Topologia uniforme

O espaço vetorial $C$ pode ser equipado com a norma uniforme

$\|f\|:=\sup _{t\in [0,T]}|f(t)|$

tornando-o um espaço vetorial normalizado ^{(português brasileiro)} ou normado ^{(português europeu)} (na verdade, um espaço de Banach). Esta norma induz uma métrica em $C$ no sentido comum: $d(f,g):=\|f-g\|$. A topologia gerada pelos conjuntos abertos nesta métrica é a topologia de convergência uniforme em $[0,T]$ ou topologia uniforme.

Considerando o domínio $[0,T]$ como "tempo" e o intervalo $R^{n}$ como "espaço", uma visão intuitiva da topologia uniforme é que as duas funções estão "próximas" se pudermos "movimentar um pouco o espaço" e fazermos o gráfico de $f$ permanecer em cima do gráfico de $g$, enquanto deixamos o tempo fixo. Isto contrasta com a topologia de Skorokhod, que nos permite "movimentar" tanto espaço, como tempo.

Separabilidade e completude

No que se refere à métrica uniforme, $C$ é um espaço tanto separável, quanto completo:

• a separabilidade é uma consequência do teorema de Stone-Weierstrass;
• a completude é uma consequência do fato de que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é contínuo.

Por ser tanto separável, como completo, $C$ é um espaço polonês.

Tightness no espaço de Wiener clássico

Lembre que o módulo de continuidade para um função $f:[0,T]\rightarrow R^{n}$ é definido por

$\omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|\left|s,t\in [0,T],|s-t|\leq \delta \right.\right\}.$

Esta definição faz sentido mesmo se $f$ não for contínua e pode-se mostrar que $f$ é contínua se e somente se seu módulo de continuidade tender a zero conforme $\delta \rightarrow 0$:

$f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0$ conforme $\delta \rightarrow 0$.

Por uma aplicação do teorema de Arzelà-Ascoli, pode-se mostrar que uma sequência $(\mu _{n})_{n=1}^{\infty }$ de medidas de probabilidade em um espaço de Wiener clássico $C$ é tight se e somente se ambas as condições seguintes forem atendidas:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C||f(0)|\geq a\}=0$ e

$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C|\omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0$ para todo $\varepsilon >0$.

Medida de Wiener clássica

Há uma medida "padrão" em $C_{0}$, conhecida como medida de Wiener clássica (ou simplesmente medida de Wiener). A medida de Wiener tem (pelo menos) duas caracterizações equivalentes:

Se o movimento browniano for definido como sendo um processo estocástico com propriedade de Markov $B:[0,T]\times \Omega \rightarrow R^{n}$, começando na origem, com caminhos quase certamente contínuos e incrementos independentes

$B_{t}-B_{s}\sim \mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right),$

então a medida de Wiener clássica $\gamma$ é a lei do processo $B$.

Alternativamente, pode-se usar a construção do espaço de Wiener abstrato, em que a medida de Wiener clássica $\gamma$ é a radonificação da medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico no espaço de Hilbert e de Cameron-Martin correspondente a $C_{0}$.

A medida de Wiener clássica é uma medida gaussiana: em particular, é uma medida de probabilidade estritamente positiva.

Dada a medida clássica de Wiener $\gamma$ em $C_{0}$, a medida produto $\gamma ^{n}\times \gamma$ é uma medida de probabilidade em $C$, em que $\gamma ^{n}$ denota a medida gaussiana padrão em $R^{n}$.

Ver também

• Espaço de Skorokhod, uma generalização do espaço de Wiener clássico, que permite que as funções sejam descontínuas
• Processo de Wiener