Movimento browniano

Movimento browniano de uma partícula num fluido. A partícula é apenas um ponto, do tamanho de todos os presentes na imagem, a área amarela serve para que se possa observar as setas - vetores aceleração - que são recebidos pela partícula em questão quando ela se choca com as outras partículas do fluido.

Conceito

O movimento browniano é o movimento aleatório de partículas num fluido ( água ou ar - líquido ou gás) como consequência dos choques entre todas as moléculas ou átomos presentes no fluido. O termo movimento browniano pode ser usado para se referir a uma grande diversidade de movimentos com partículas, com moléculas, e com ambos presentes em estados desde micro até macroscópicos em situações de organização caóticas, semi-caóticas, ou de proporções matemáticas, principalmente em casos de modelagem, todos estes na área denominada Física de partículas.

Esse fenômeno físico que é intrínseco a matéria e aos choques que ocorrem nos fluidos também pode ser observado com macromoléculas, tendo por exemplo o momento que a luz é incide em locais relativamente secos, permitindo que se veja macropartículas "flutuando" em suspensão no ar fazendo movimentos aleatórios. Vulgarmente confunde-se com poeira, entretanto deve-se notar que o ar ( o fluido em questão) que pratica o movimento browniano e não as partículas ( ou macromoleculas, neste caso poeria) que estão naquele.

Há um padrão pouco explicito em alguns casos deste movimento aleatório que o classifica como um movimento fractal, pois descreve um padrão dinâmico bem definido. Quem primeiro percebeu isso foi Benoît Mandelbrot, matemático francês.

Esse movimento está diretamente ligado com muitas reações em nível celular, como a difusão, a formação de proteínas, a síntese de ATP e o transporte intracelular de moléculas.

Hoje em dia, o movimento browniano serve de modelo na descrição de flutuações que ocorrem nos mais diversos e inesperados tipos de sistemas. Por exemplo, praticamente a mesma descrição e o mesmo tratamento matemático de Einstein podem ser adaptados para descrever flutuações de preços de mercadorias, a condutividade elétrica em metais e a ocorrência de cheias nos rios.

Físicos atualmente estudam tal movimento em relação à Teoria do Caos.

Um pouco de história

Robert Brown, cujo nome batizou o fenômeno.

O poema didático grego De rerum natura (Sobre a natureza das coisas), escrito por Tito Lucrécio Caro cita:

Os átomos movem-se num infinito vazio.
O universo é composto de átomos e vazio, nada mais.
Devido a sermos compostos de uma sopa de átomos em constante movimento[...].
As formas de vida neste mundo e nos outros estão em constante movimento, incrementando a potência de umas formas e diminuindo a de outras.
Os sentimentos percebem as colisões macroscópicas e interacções dos corpos[...].

Demonstrando algum conhecimento das sociedades antigas sobre como choques de partículas geram os vários fenômenos que são citados. É de se observar que na época em questão não havia aceitação e nem entendimento unânime sobre a existência de átomos e outros componentes da matéria. A disputa atômica começou com Demócrito e Anaxagoras. Os filósofos se opunham às teorias atômicas, distinguidos pela questão da gota d´água, por exemplo, que deve se dividir repetidamente sem limite, com cada subdivisão preservando as propriedades da original. A escola atômica de Demócrito defendia que as subdivisões não podiam continuar indefinidamente. A doutrina da homogeneidade seguida por Anaxagoras defende que a divisão da gota pode continuar sem término, porque o tamanho do corpo não reflete a natureza da substância.

A origem do nome

Microscópio utilizado por Brown na primeira observação do movimento browniano.

O primeiro a observar cientificamente o movimento foi o biólogo Robert Brown, que achou se tratar de uma nova forma de vida, pois ainda não se tinha completa ciência da existência de moléculas, e as partículas pareciam descrever movimentos por vontade própria.

Certo dia, o pesquisador observou ao microscópio que grânulos de pólen pareciam se mexer. Esta observação fez com que o cientista acreditasse que a sua busca pela força causadora da vida estivesse próxima do fim. Como o movimento não se interrompia, Brown acreditou que os grânulos estivessem submetidos à ação de uma força misteriosa (o tal princípio vital). O que mais podia ser, uma vez que não se tinha como explicar que energia era aquela que movia aquelas partículas, senão a própria vida? No entanto, a sua pesquisa tomou outros rumos quando Robert Brown repetiu o experimento com outras substâncias suspensas em água e, em alguns casos, em gim: fibras de vitela em decomposição, teias de aranha e até mesmo o próprio muco. Mas o fator determinante foi quando substâncias inorgânicas mostraram o mesmo fenômeno: cobre, bismuto, antimônio, manganês e asbesto. Isso provava que o movimento não estava ligado à questão da vida. Em 1877, o jesuita belga Joseph Delsaulx escreveu sobre os resultados obtidos por Brown:

"No meu modo de pensar, esse fenômenose deve ao movimento térmico das moléculas do líquido que circunda as partículas".

Jan Ingenhousz fez algumas observações do movimento irregular de poeira de carbono em álcool em 1765. Sendo que a primeira pessoa a descrever a matemática por trás do movimento Browniano foi Thorvald N. Thiele em 1880 em um artigo no método dos menores quadrados. Isto foi seguido independentemente por Louis Bachelier em 1900 em sua tese de PhD "A Teoria da Especulação".

A matemática reveladora

Exemplo animado de um movimento browniano segundo a modelagem matemática do Processo de Wiener confirmado pelo Teorema de Donsker.

A partir do relato de Brown, vários trabalhos foram apresentados sobre esse curioso movimento, culminando com um artigo publicado, em 1905, pelo então desconhecido Albert Einstein. Neste artigo, sua tese de doutorado, temos duas partes separadas da teoria : a primeira consiste na formulação da equação para partículas Brownianas cujo coeficiente de difusão é relacionado com a raiz quadrada do tamanho da partícula; e a segunda consiste na relação com do coeficiente de difusão com a física quântica e as quantias mensuradas por ela.

Naquela época, a natureza atômica da matéria ainda era uma ideia controversa. Einstein e Marian Smoluchowski observaram que, se a Teoria Cinética dos Fluidos estivesse correta, então as moléculas de água deveriam se mover aleatoriamente. Consequentemente, uma pequena partícula deveria receber um número aleatório de impactos de potência aleatória e de direções aleatórias em qualquer pequeno período de tempo. Este bombardeio aleatório pelas moléculas do fluido deveria fazer com que uma suficientemente pequena partícula se movesse exatamente do jeito descrito por Brown.

Einstein analisa o fenômeno de difusão das partículas do soluto numa solução diluída (partículas de açúcar em água) com o objetivo de obter estimativas para o número de Avogadro e o diâmetro das partículas do soluto.

Na parte inicial da tese, Einstein faz um cálculo hidrodinâmico, com base nas equações de Navier-Stokes para o escoamento de um fluido incompressível, a fim de obter a viscosidade efetiva do fluido na presença do soluto. No modelo adotado, as moléculas do soluto são esferas rígidas, não interagentes, e bem maiores do que as moléculas do solvente.

Aonde ele mostrou que se ρ(x, t) é densidade de partículas Brownianas no ponto x no tempo t, então ρ satisfaz a difusão modelada pela seguinte equação diferencial:

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\frac{\partial^2\rho}{\partial x^2},$

Einstein conclui com um resultado matemático que se constitui como uma das expressões conhecidas de Einstein. Este expressão relaciona o coeficiente de difusão (D) com a temperatura e a viscosidade do fluido:

$D==\frac{RT}{6\pi\eta rN}.$

onde:

R - constante universal dos gases; T – Temperatura termodinâmica, em escala absoluta; r – raio das partículas; η – viscosidade do solvente puro; N – Número de Avogadro;

O trabalho sobre as leis que governam o movimento browniano e a sua brilhante confirmação experimental por Perrin e colaboradores alguns anos depois foram decisivos para a aceitação da realidade de átomos e moléculas.

A teoria de Einstein do movimento browniano é baseada na semelhança entre o comportamento de soluções e suspensões diluídas, na relação entre o coeficiente de difusão e a viscosidade, que já havia sido obtida na tese de doutoramento, e numa dedução probabilística da equação da difusão, antecipando-se às teorias modernas de cadeias markovianas. Através desse raciocínio probabilístico, Einstein obtém a celebrada expressão do percurso quadrático médio no movimento browniano.

$\overline{x^2}=2Dt.$

onde:

D - coeficiente de difusão; t - tempo decorrido;

Resultados fisicos posteriores

Theodor Svedberg fez importantes demonstrações do movimento Browniano em colóides e Felix Ehrenhaft, em partículas de prata no ar.

Jean Perrin realizou experimentos para testar os novos modelos matemáticos e seus resultados publicados finalmente colocaram um fim na disputa de dois mil anos sobre a existência dos átomos e moléculas.E, por esses trabalhos, ele foi agraciado com o prêmio Nobel de Física de 1926.

Alguns anos depois do trabalho de Einstein, o matemático Norbert Wiener provou que a trajetória browniana tem comprimento infinito entre dois pontos quaisquer. O caminho traçado pela partícula é tão enrolado que, se esperássemos um tempo infitamente longo, ela percorreria todo o plano, sem deixar de passar por nenhum ponto. Tecnicamente se diz que, contrariando as aparências, o caminho percorrido pela partícula browniana não é uma linha (com dimensão 1), mas é uma superfície (com dimensão 2)! E tem mais: Não pense que a trajetória da partícula browniana parece ser irregular porque o microscópio não tem um aumento suficiente para mostrar os detalhes da curva. Nada disso. Com um microscópio mais potente veríamos mais detalhes, realmente, mas a curva seria tão angulosa e irregular quanto antes. Veja, na figura, como veríamos a curva usando microscópios cada vez mais poderosos.

Outras Pesquisas

Outro francês, Louis Bachelier, em sua tese de doutoramento apresentada em 1900, cinco anos antes do artigo de Einstein, desenvolveu praticamente toda a teoria do movimento aleatório, obtendo expressões semelhantes às que seriam depois obtidas por Einstein. No entanto, Bachelier não descrevia um sistema físico, como partículas suspensas em água, mas as flutuações das ações de uma bolsa de valores. Por essa razão, seus resultados passaram inteiramente despercebidos pelos físicos da época. Hoje, sabe-se que o tratamento teórico dessas flutuações serve para explicar inúmeros fenômenos que ocorrem em áreas completamente distintas, como a física, a biologia, a economia e as ciências políticas. A observação aparentemente inocente de Robert Brown revelou-se muito mais importante do que parecia quando foi relatada pela primeira vez.

Uma metáfora intuitiva para o movimento Browniano

Considere um grande balão de 10 metros de diâmetro. Imagine este balão em um estádio de futebol ou qualquer outra área lotada. O balão é tão grande que ele permanece acima de muitos membros da multidão. Como eles estão excitados, estes fãs acertam o balão em diferentes tempos e em diferentes direções com movimentos completamente aleatórios. No fim, o balão é empurrado em direções aleatórias, então ele não se move na média. Considere agora a força exercida em um certo tempo. Nós podemos ter 20 pessoas empurrando para a direita e 21 para a esquerda, onde cada pessoa está exercendo quantidades de força equivalente. Neste caso, as forças exercidas do lado esquerdo e do lado direito não estão balanceadas, favorecendo o lado esquerdo; o balão deve se mover ligeiramente para a esquerda. Esta desproporção existe o tempo todo, e isso causa o movimento aleatório. Se nós olharmos esta situação de cima, então nós não podemos ver as pessoas, nós vemos o grande balão como um pequeno objeto animado por movimentos erráticos. Agora retornando à partícula de pólen de Brown nadando aleatoriamente na água. Uma molécula de água tem aproximadamente 1 nm, enquanto a partícula de pólen mede aproximadamente 1 µm de diâmetro, 1000 vezes maior que uma molécula de água. Então, a partícula de pólen pode ser considerada como um grande balão sendo empurrado constantemente pelas moléculas de água. O movimento Browniano das partículas em um líquido se deve a desproporcionalidades instantâneas nas forças exercidas pelas pequenas moléculas líquidas na partícula.

Exemplo Biofisico : A saida estreita

O problema da saida estreita ( ou da janela estreita ) é um problema da fisica, aplicado a biologia celular, aonde um particula Browniano ( íon, molécula ou proteína), está confinada num dominio fechado ( ou dentro de uma célula) por uma membrana reflectiva ( membrana plasmática), exceto por uma pequena janela pela qual ela pode sair. O problema resume-se em calcular o tempo médio para que ela escape. Sendo que este tempo é influenciado pelo tamanho da janela, velocidade da particula e afins.

Gases

Em sistemas gasosos, quando fluidos, ocorre a presença de movimento browniano. Devemos notar que toda particula de movimento caótico, ou fluido com particulas dissolvidas ou não apresenta movimento browniano. Na realidade um fluido puro apresenta movimento browniano entre suas partículas. Quando se adiciona qualquer impureza esta pode apresentar movimento browniano com suas particulas e com as do fluido, representando assim um complexo estudo probabilistico.