Desigualdade de martingale de Doob

Na matemática, a desigualdade de martingale de Doob é um resultado no estudo dos processos estocásticos. Esta dá um limite sobre a probabilidade de que um processo estocástico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado é geralmente dado no caso em que o processo é um martingale negativo, mas o resultado também é válido para submartingales não negativos.

A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob.

Afirmação da desigualdade

Considere $X$ um submartingale que assume valores reais não negativos, seja em tempo discreto, seja em tempo contínuo. Isto é, para todos os tempos $s$ e $t$ com $s<t$:

$X_{s}\leq \mathbf {E} \left[X_{t}{\big |}{\mathcal {F}}_{s}\right].$

Para um submartingale de tempo contínuo, assume-se posteriormente que o processo é càdlàg. Então, para qualquer constante $C>0$,

$\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[X_{T}\right]}{C}}.$

Acima, como é convencional, $\mathbf {P}$ denota a medida de probabilidade no espaço amostral $\Omega$ do processo estocástico:

$X:[0,T]\times \Omega \to [0,+\infty )$

e $\mathbf {E}$ denota o valor esperado com respeito à medida de probabilidade $\mathbf {P}$, isto é, a integral

$\mathbf {E} [X_{T}]=\int _{\Omega }X_{T}(\omega )\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )$

no sentido da integração de Lebesgue. ${\mathcal {F}}_{s}$ denota a sigma-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias $X_{i}$ com $i\leq s$. A coleção de tais sigma-álgebras forma uma filtração do espaço de probabilidade.

Desigualdades posteriores

Há desigualdades de (sub)martingale posteriores que também se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre $X$ como acima, considere:

$S_{t}=\sup _{0\leq s\leq t}X_{s}$

e, para $p\geq 1$, considere:

$\|X_{t}\|_{p}=\|X_{t}\|_{L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}=\left(\mathbf {E} \left[|X_{t}|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}.$

Nesta notação, a desigualdade de Doob como afirmada acima lê:

$\mathbf {P} \left[S_{T}\geq C\right]\leq {\frac {\|X_{T}\|_{1}}{C}}.$

As seguintes desigualdade também se aplicam: para $p=1$,

$\|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+\|X_{T}\log ^{+}X_{T}\|_{p}\right)$

e, para $p>1$,

$\|X_{T}\|_{p}\leq \|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {p}{p-1}}\|X_{T}\|_{p}.$

Desigualdades relacionadas

A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se $X_{1},X_{2},...$ for uma sequência de variáveis aleatórias independentes de valores reais, cada uma com média zero, fica claro que:

${\begin{aligned}\mathbf {E} \left[X_{1}+\dots +X_{n}+X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\dots +X_{n}+\mathbf {E} \left[X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}},$

de modo que $M_{n}=X_{1}+...+X_{n}$ é um martingale. Note que a desigualdade de Jensen implica que $|M_{n}|$ é um submartingale não negativo se $M_{n}$ for um martingale. Assim, assumindo $p=2$ na desigualdade de martingale de Doob,

$\mathbf {P} \left[\max _{1\leq i\leq n}\left|M_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[M_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}},$

que é precisamente a afirmação da desigualdade de Kolmogorov.

Aplicação no movimento browniano

Considere que $B$ denota um movimento browniano unidimensional canônico. Então,

$\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).$

A prova é como segue: já que a função exponencial é monotonamente crescente, para qualquer $\lambda$ não negativo,

$\left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.$

Pela desigualdade de Doob e, já que a exponencial do movimento browniano é um submartingale positivo,

${\begin{aligned}\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\&\leq {\frac {\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{T})\right]}{\exp(\lambda C)}}\\&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)&&\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\end{aligned}}.$

Já que o lado esquerdo não depende de $\lambda$, escolhe-se $\lambda$ para minimizar o lado direito. $\lambda =C/T$ dá a desigualdade desejada.