Lema de Itō

Em matemática, o lema de Itō é usado no cálculo estocástico de Itō para encontrar a diferencial de uma função de um tipo particular de processo estocástico. Ele foi desenvolvido pelo matemático japonês Kiyoshi Itō. É o análogo da regra da cadeia do cálculo comum para o cálculo estocástico, e é melhor memorizado a partir da expansão com séries de Taylor separando o termo de segunda ordem relacionado à mudança na componente estocástica. O lema é amplamente aplicado na área de finanças matemáticas, e seu uso mais conhecido é na demonstração da equação de Black-Scholes, utilizada para precificar opções.

Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō

Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que para um processo de tendência-difusão de Itō

$dX_t= \sigma_t\,dB_t + \mu_t\,dt$

onde $dB_t$ é a diferencial do movimento Browniano, então para qualquer função duplamente e continuamente diferenciável f nos números reais & t

$\dot{f}(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,x),\quad f'(t,x)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x),\quad f''(t,x)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(t,x).$

Então pelo lema de Itō:

$\begin{align} df(t,X_t)&=\dot{f}(t,X_t)\,dt+f'(t,X_t)\,dX_t+\frac{1}{2}f''(t,X_t)\sigma^2_t\,dt,\\ &=\dot{f}(t,X_t)\,dt+f'(t,X_t)(\mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t)+\frac{1}{2}f''(t,X_t)\sigma^2_t\,dt,\quad\mbox{rearranjando os termos}\\ &=\left(\dot{f}(t,X_t)+\mu_tf'(t,X_t)+\frac{\sigma_t^2}{2}f''(t,X_t)\right)dt+f'(t,X_t)\sigma_t\,dB_t \end{align}$

Num espaço multi-dimensional,

$df\left(t,X_{t}\right)=f_{t}\left(t,X_{t}\right)dt+\nabla_{X_{t}}^{T}f\cdot dX_{t}+\frac{1}{2}dX^{T}_{t}\cdot\nabla_{X_{t}}^{2}f\cdot dX_{t}$

onde $X_{t}=\left(X_{t,1},X_{t,2},\cdots,X_{t,n}\right)^{T}$ é um vetor do processo de Itō, $\dot{f}_{t}\left(t,X\right)$ é a diferencial parcial com relação a t, $\nabla_{X}^{T}f$ é o gradiente de f com relação a X, e $\nabla_{X}^{2}f$ é a matriz Hessiana de f com relação a X.

Demonstração informal

Uma prova do lema requer tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias, o que não é feito aqui. Apesar disso, é possível derivar o lema de Itō expandindo uma série de Taylor e aplicando as regras do cálculo estocástico.

Assumindo que o processo de Itō é na forma

$dx= a\,dt + b\,dB.\!$

Expandindo f(x, t) numa série de Taylor em x e t, vem

$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,dx^2 + \cdots$

e substituindo a dt + b dB por dx vem

$df = \frac{\partial f}{\partial x}(a\,dt + b\,dB) + \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a^2\,dt^2 + 2ab\,dt\,dB + b^2\,dB^2) + \ldots.$

Neste ponto é preciso reter apenas os termos na ordem de dt e dB, desprezando os termos de ordem superior. O termo dB² tende para dt. Isto pode ser provado mostrando que

$dB^2 \rightarrow E(dB^2),$ uma vez que $E(dB^2) = dt. \,$

Entretanto, a prova desta propriedade estatística está além do escopo deste artigo.

Os termos dt² e dt dB desaparecem, pois tem ordem superior a dt (respectivamente, 2 e 1,5).

Removendo os termos dt² e dt dB, substituindo dt em dB², e coletando dt e dB obtém-se

$df = \left(a\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + b\frac{\partial f}{\partial x}\,dB$

como desejado.

Exemplos

Movimento Browniano Geométrico

Ver artigo principal: Movimento Browniano Geométrico

Um processo S segue um movimento Browniano geométrico com volatilidade σ e tendência μ se satisfaz a equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt), para um movimento Browniano B. Aplicando o lema de Itō com f(S) = log(S) vem

$\begin{align} d\log(S) &= f^\prime(S)\,dS + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(S)S^2\sigma^2\,dt \\ &= \frac{1}{S}\left( \sigma S\,dB + \mu S\,dt\right) - \frac{1}{2}\sigma^2\,dt \\ &= \sigma\,dB +(\mu-\sigma^2/2)\,dt. \end{align}$

Segue que log(S_t) = log(S₀) + σB_t + (μ - σ²/2)t, e tomando a exponencial chega-se a uma expressão para S,

$S_t=S_0\exp\left(\sigma B_t+(\mu-\sigma^2/2)t\right).$

Fórmula de Black-Scholes

Ver artigo principal: Black-Scholes

O lema de Itō pode ser utilizado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção. Supondo que o preço de uma ação segue um movimento Browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt). Entao, se o valor de uma opção no tempo t é f(t,S_t), o lema de Itō retorna

$df(t,S_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\left(S_t\sigma\right)^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.$

O termo (∂f/∂S) dS representa a variação no valor no tempo dt da estratégia de negociação consistindo em manter em carteira uma quantidade ∂f/∂S da ação. Seguinto essa estratégia, e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco r, então o valor total V deste portfolio satisfaz a EDE

$dV_t = r\left(V_t-\frac{\partial f}{\partial S}S_t\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.$

Esta estratégia replica a opção se V = f(t,S). A combinação dessas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0.$

Referências gerais

• Kiyoshi Itō (1951). On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society 4, 1–51.
• Hagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Also available online: PDF-files. This textbook also derives generalizations of Itō's lemma for non-Wiener (non-Gaussian) processes.
• Bernt Øksendal (2000). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 5th edition, corrected 2nd printing. Springer. ISBN 3-540-63720-6. Sections 4.1 and 4.2.
• Domingo Tavella (2002). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance, John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-27479-7. Pages 36–39.

Ligações externas

• Derivation, Prof. Thayer Watkins
• Discussion, quantnotes.com
• Informal proof, optiontutor