Processo regenerativo

Processos regenerativos têm sido usados para modelar problemas em controle de inventário. O inventário em um armazém tal como o da imagem decresce via um processo estocástico devido às vendas até que seja reabastecido por um novo pedido.

Em probabilidade aplicada, um processo regenerativo é uma classe de processos estocásticos com a propriedade de que certas porções do processo podem ser tratadas como estatisticamente independentes umas das outras. Esta propriedade pode ser usada na derivação de propriedades teóricas de tais processos.

Histórico

Processos regenerativos foram definidos pela primeira vez pelo matemático britânico radicado nos Estados Unidos Walter L. Smith na Proceedings of the Royal Society A em 1955.

Definição

Um processo regenerativo é um processo estocástico com pontos de tempo nos quais, a partir de um ponto de vista probabilístico, o processo se reinicia. Estes pontos de tempo podem ser eles próprios determinados pela evolução do processo. Isto equivale a dizer que o processo $\{X(t),t\geq 0\}$ é um processo regenerativo se existirem pontos de tempo $0\leq T_{0}<T_{1}<T_{2}<...$, tal que o processo pós-$T_{k}$ $\{X(T_{k}+t):t\geq 0\}$:

• tem a mesma distribuição do processo pós-$T_{0}$ $\{X(T_{0}+t):t\geq 0\}$;
• é independente do processo pré-$T_{k}$ $\{X(t):0\leq t<T_{k}\}$.

para $k\geq 1$. Intuitivamente, isto significa que um processo regenerativo pode ser dividido em ciclos independentes e identicamente distribuídos.

Quando $T_{0}=0$, $X(t)$ é chamado de processo regenerativo não atrasado. De outro modo, o processo é chamado de processo regenerativo atrasado.

Exemplos

• Processos de renovação são processos regenerativos, sendo $T_{1}$ a primeira renovação.
• Processos de renovação alternantes, em que um sistema alterna entre um estado "ativo" e um estado "inativo", são processos regenerativos.
• Uma cadeia de Markov recorrente é um processo regenerativo, sendo $T_{1}$ o tempo da primeira recorrência. Isto inclui as cadeias de Harris.
• O movimento browniano refletido, em que se mede o tempo que as partículas levam para partir e voltar, é um processo regenerativo.

Propriedades

• Pelo teorema da renovação com recompensa, com probabilidade 1,

  $\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}},$

em que $\tau$ é o comprimento do primeiro ciclo e $R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds$ é o valor sobre o primeiro ciclo.

• Uma função mensurável de um processo regenerativo é um processo regenerativo com o mesmo tempo de regeneração.