Fórmula de Dynkin

Em matemática, especificamente em processos estocásticos, a fórmula de Dynkin é um teorema que dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō em um tempo de parada. Pode ser vista como a generalização estocástica do (segundo) teorema fundamental do cálculo. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Eugene Dynkin.

Afirmação

Considere $X$ a difusão de Itō com valor em $\mathbf {R} ^{n}$ que resolve a equação diferencial estocástica

$\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.\$

Para um ponto $x\in$ $\mathbf {R} ^{n}$, considere que $\mathbf {P} ^{x}$ denota a lei de $X$, sendo o dado inicial $X_{0}=x$, e que $\mathbf {E} ^{x}$ denota o valor esperado em relação a $\mathbf {P} ^{x}$.

Considere $A$ o gerador infinitesimal de $X$, definido por sua ação em funções $C^{2}$compactamente suportadas (duplamente diferenciáveis com segunda derivada contínua) $f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R}$, conforme

$Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}\$

ou, equivalentemente,

$Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).\$

Considere que $\tau$ é um tempo de parada com $\mathbf {E} ^{x}[\tau ]<+\infty$ e $f$ é $C^{2}$ com suporte compacto. Então, a fórmula de Dynkin afirma que:

$\mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].\$

Na verdade, se $\tau$ for o primeiro tempo de saída para um conjunto limitado $B\subset \mathbf {R} ^{n}$ com $\mathbf {E} ^{x}[\tau ]<+\infty$, então, a fórmula de Dynkin se aplica para todas as funções $f$ $C^{2}$, sem o pressuposto do suporte compacto.

Exemplo

A fórmula de Dynkin pode ser usada para encontrar o primeiro tempo de saída esperado $t_{K}$ do movimento browniano $B$ da bola fechada

$K=K_{R}=\{x\in \mathbf {R} ^{n}|\,|x|\leq R\},$

que, quando $B$ começa em um ponto $a$ no interior de $K$, é dado por

$\mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.$

Escolha um número inteiro $j$. A estratégia é aplicar a fórmula de Dynkin com $X=B$, $\tau =\sigma j=\min(j,\tau _{K})$ e uma função $f$ $C^{2}$ com $f(x)=\left\vert x\right\vert ^{2}$em $K$. O gerador do movimento browniano é ${\frac {\Delta }{2}}$, em que $\Delta$ denota o operador de Laplace. Por isso, pela fórmula de Dynkin,

$\mathbf {E} ^{a}\left[f{\big (}B_{\sigma _{j}}{\big )}\right]$

$=f(a)+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}{\frac {1}{2}}\Delta f(B_{s})\,\mathrm {d} s\right]$

$=|a|^{2}+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}n\,\mathrm {d} s\right]$

$=|a|^{2}+n\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}].$

Assim, para qualquer $j$,

$\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}]\leq {\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.$

Agora, considere $j\rightarrow +\infty$ para concluir que $\tau _{K}=\lim _{j\rightarrow +\infty }\sigma j<+\infty$ quase certamente e

$\mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )},$

como afirmado.