Convergência de variáveis aleatórias

Em probabilidade, existem diferentes conceitos de convergência de variáveis aleatórias. A convergência de uma sequência de variáveis aleatórias para algum limite é um conceito importante da teoria das probabilidades, com aplicações em estatística e processos estocásticos.

Por exemplo, a média de n variáveis aleatórias não correlacionadas Y_i, i = 1, …, n, é dada por:

$X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\,,$

e um resultado importante é que, quando n tende a infinito (com mais algumas condições sobre Y, por exemplo, a média de cada Y_i é μ), então X_n converge em probabilidade (ver abaixo) para μ. Este resultado é conhecido como a lei fraca dos grandes números.

Outros conceitos são usados em outros teoremas, como o importante teorema do limite central.

No texto que se segue, assume-se que (X_n) é uma sequência de variáveis aleatórias, que X também é uma variável aleatória e que todas estão definidas no mesmo espaço de probabilidade (Ω, F, P).

Tipo de convergência	Ferramentas matemáticas úteis em sua compreensão	Teorema limite relacionado
Em distribuição	Função geradora de momentos/ característica	Teorema do limite central
Em probabilidade (implica convergência em distribuição)	Desigualdade de Markov/ Chebyshev	Lei fraca dos grandes números
Quase certa	Lema de Borel-Cantelli	Lei forte dos grandes números

Convergência em distribuição

Seja F₁, F₂, … uma sequência de funções distribuição acumulada correspondentes a variáveis aleatórias X₁, X₂, …, e seja F a função distribuição acumulada correspondente à variável aleatória X. Então define-se que a sequência X_n converge para X em distribuição quando:

$\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a),\,$

para cada ponto a em que F seja contínua.

A convergência em distribuição costuma ser representada por uma letra $\mathcal D$ colocada sobre a seta que indica convergência:

$X_n \, \xrightarrow{\mathcal D} \, X$

Outra forma de representar é através da letra d minúscula.

A convergência em distribuição é a forma mais fraca de convergência, e é chamada algumas vezes de convergência fraca (artigo principal: convergência fraca de medidas). No caso geral, a convergência em distribuição não implica nenhuma outra das convergências descritas neste artigo. Ela é, porém, a definição mais comum e útil de convergência de variáveis aleatórias. Esta noção de convergência é usada no teorema do limite central.

Um importante resultado, que pode ser empregado junto com a lei dos grandes números, é que se a função g: R → R  é contínua, e se  X_n  converge em distribuição para X, então  g(X_n)  também converge em distribuição para g(X). (A prova disto pode ser feita pelo teorema da representação de Skorokhod.) Este fato pode ser usado como a definição da convergência em distribuição.

A convergência em distribuição também é chamada de convergência na lei, porque a palavra lei é algumas vezes usada como sinônimo da distribuição de probabilidades.

Convergência em probabilidade

É o tipo de convergência mais fraco, e, por isto, geralmente é bastante fácil de ser verificado .

Uma sequência de variáveis aleatórias $X_n=\left \{ X_1,X_2,X_3...,X_n \right \}$ converge para uma variável aleatória X em probabilidade quando

Em linguagem matemática	Em Português
$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\left({\color{red}\left|X_n-X\right|}\geq\varepsilon\right)=0$, para todo ε > 0	Quando n (=número de variáveis aleatórias) tende ao infinito, a probabilidade de a diferença ${\color{red}\left|X_n-X\right|}$ ser maior que qualquer número positivo $\varepsilon$ tende a zero.

Isto é o equivalente a dizer que :

Em linguagem matemática	Em Português
$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\left({\color{red}\left|X_n-X\right|}<\varepsilon\right)=1$, para todo ε > 0	Quando n (=número de variáveis aleatórias) tende ao infinito, a probabilidade de a diferença ${\color{red}\left|X_n-X\right|}$ ser menor que qualquer número positivo $\varepsilon$ tende a 1 (um).

Formalmente, fixa-se δ > 0. Seja P_n a probabilidade de que X_n esteja fora de um intervalo de confiança de raio ε em torno de X. Se X_n converge em probabilidade para X então existe um valor N tal que, para todo n ≥ N, P_n é menor que δ.

A convergência em probabilidade é usualmente representada por uma letra 'P' colocada sobre a seta que indica convergência:

$X_n \, \xrightarrow{P} \, X$

Também encontra-se a notação:

$\mbox{p}\!\!\!\lim_{n\rightarrow\infty\;} X_n = X, \,$, ou simplesmente $\operatorname{plim}\; X_n = X. \,$

A convergência em probabilidade é a noção de convergência usada na lei fraca dos grandes números. A convergência em probabilidade implica a convergência em distribuição.

Convergência quase certa

Diz-se que uma sequência X_n converge quase certamente, quase em todo o lado, com probabilidade 1 ou fortemente para X quando

Em linguagem matemática	Em Português
$\Pr\left(\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=X\right)=1$	Quando n (=número de variáveis) tende ao infinito, a probabilidade de os valores de Xn se aproximarem do valor de X tende a 1(um).
Ou, o que é a mesma coisa, $\Pr\left(\big\{\omega \in \Omega \, | \, \lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega) \big\}\right) = 1$	A probabilidade de as funções $X_n(\omega)$ convergirem para $X(\omega)$ é 1 quando n tende ao infinito. Esta notação utiliza o espaço de probabilidades (Ω, F, P) e o conceito de que uma variável aleatória é uma função de Ω em R

A convergência quase certa costuma ser representada acrescentando as letras a.s. (do inglês almost sure) acima da seta que indica convergência:

$X_n \, \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} \, X$

A convergência quase certa é um tipo de convergência mais forte do que a em probabilidade e por isso implica a convergência em probabilidade (mas o inverso não é verdadeiro) . Esta é a noção de convergência usada na lei dos grandes números.

Convergência certa

Diz-se que uma sequência de variáveis aleatórias (X_n) definidas no mesmo espaço de probabilidades converge certamente ou em todo lugar ou pontualmente para X quando:

$\lim_{n\rightarrow\infty}X_n(\omega)=X(\omega), \, \, \forall \omega \in \Omega.$

em que $\Omega$ é o espaço amostral em que as variáveis aleatórias estão definidas.

Esta é a noção de convergência pontual de uma sequência de funções estendida para uma sequência de variáveis aleatórias. Note-se que as variáveis aleatórias são funções.

$\big\{\omega \in \Omega \, | \, \lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega) \big\} = \Omega.$

A convergência certa implica as demais formas de convergência definidas acima, mas não existe benefício extra na teoria das probabilidades em se usar convergência certa em vez de convergência quase certa. A diferença entre elas aparece apenas em conjuntos de probabilidade zero, e este é o motivo da convergência certa ser um conceito raramente usado.

Convergência na média

Diz-se que uma sequência de variáveis aleatórias X_n converge na r-ésima média ou na norma L^r para X, quando r ≥ 1, E|X_n|^r < ∞ para todo n, e

$\lim_{n\rightarrow\infty}\mathrm{E}\left(\left|X_n-X\right|^r\right)=0$

em que E é o operador esperança. A convergência na r-ésima média diz que o valor esperado da r-ésima potência da diferença entre X_n e X converge para zero.

Este tipo de convergência costuma ser representado acrescentando-se o símbolo L^r sobre a seta que indica convergência:

$X_n \, \xrightarrow{L^r} \, X.$

Os casos mais importantes de convergência na r-ésima média s~~ao:

• Quando r = 1, diz-se que X_n converge na média para X.
• Quando r = 2, diz-se que X_n converge na média quadrática para X. Algumas vezes esta convergência é chamada de convergência na média, e é representada

$\underset{n \to \infty}{\operatorname{l.i.m.}} X_n = X.\,\!$

A convergência na r-ésima média, para r > 0, implica a convergência em probabilidade (pela desigualdade de Markov).

Se r > s ≥ 1, então a convergência na r-ésima média implica a convergência na s-ésima média. Corolário: convergência na média quadrática implica convergência na média.

Implicações

As relações causais entre os diferentes tipos de convergência (se converge segundo (A) então converge segundo (B)) estão mencionadas em cada sessão. Em resumo, temos:

• $\xrightarrow{\textrm{a.s.}} \quad \Rightarrow \quad \xrightarrow{P} \quad \Rightarrow \quad \xrightarrow{\mathcal D}$
• $\forall r>0:\quad\xrightarrow{L^r} \quad \Rightarrow \quad \xrightarrow{P}$
• $\forall r>s\geq1:\quad\xrightarrow{L^r} \quad \Rightarrow \quad \xrightarrow{L^s}$

Em geral, não há outras relações de implicação. Alguns casos particulares, porém, permitem inverter as implicações:

• Se X_n converge em distribuição para uma constante c, então X_n converge em probabilidade para c.
• Se X_n converge em probabilidade para X, e se Pr(|X_n| ≤ b) = 1 para todo n e algum b, então X_n converge na r-ésima média para X para todo r ≥ 1. Ou seja, se X_n converge em probabilidade para X e todas variáveis aleatórias X_n são quase certamente limitadas (acima e abaixo), então X_n converge para X também em qualquer r-ésima média.
• Se para todo ε > 0,

$\sum_n P\left(|X_n - X| > \varepsilon\right) <\infty,$

então dizemos que X_n converge quase completamente, ou rapidamente em probabilidade para X. Neste caso, X_n converge quase certamente para X. Ou seja, se X_n converge em probabilidade para X suficientemente rápido (i.e. a sequência de probabiliades das caudas é somável para todo ε > 0), então X_n também converge quase certamente para X. Este é um corolário do Lema de Borel-Cantelli.

• Se S_n é uma soma de n variáveis aleatórias independentes reais:

$S_n = X_1+\cdots+X_n$

então S_n converge quase certamente se, e somente se, S_n converge em probabilidade.

• O teorema da convergência de Lévy dá condições suficientes para que da convergência quase certa seja possível concluir a convergência L¹:

$\left. \begin{array}{ccc} X_n\xrightarrow{a.s.} X \\ \\ |X_n| < Y \\ \\ \mathrm{E}(Y) < \infty \end{array}\right\} \quad\Rightarrow \quad X_n\xrightarrow{L^1} X$

Ver também

• Processo estocástico contínuo: a questão da continuidade de um processo estocástico é essencialmente uma questão de convergência, e várias conceitos e relações descritos acima se aplicam na questão da continuidade.
• Teorema de Slutsky

Ligações externas

• Convergence Wikibook(em inglês)

Referências

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, 2nd edition, pp. 1–28 ISBN 0471197459
• G.R. Grimmett and D.R. Stirzaker (1992). Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford, pp 271–285. ISBN 0-19-853665-8.
• M. Jacobsen (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhague, pp 18–20. ISBN 87-91180-71-6.