Passeio aleatório de tempo contínuo

Na matemática, um passeio aleatório de tempo contínuo (PATC) é uma generalização de um passeio aleatório em que a partícula errante espera por um tempo aleatório entre os saltos. É um processo de salto estocástico com distribuições arbitrárias de comprimentos de salto e tempos de parada. De forma mais generalizada, pode ser visto como um caso especial de um processo de renovação de Markov.

Motivação

O PATC foi introduzido pelos matemáticos norte-americanos Elliott Waters Montroll e George Herbert Weiss em 1965 como uma generalização do processo de difusão física para descrever efetivamente a difusão anômala, isto é, os casos superdifusivo e subdifusivo. Uma formulação equivalente do PATC é dada por equações mestre generalizadas. Uma conexão entre PATCs e equações de difusão com derivadas de tempo fracionárias foi estabelecida. De forma semelhante, equações de difusão fracionárias de tempo-espaço podem ser consideradas PATCs com saltos continuamente distribuídos ou aproximações em continuidade de PATCs em reticulados.

Formulação

Uma formulação simples de um PATC consiste em considerar o processo estocástico $X(t)$ definido por:

$X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i},$

cujos incrementos $\Delta X_{i}$ são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas que assumem valores em um domínio $\Omega$, sendo $N(t)$ o número de saltos no intervalo $(0,t)$. A probabilidade de que o processo assuma o valor $X$ no tempo $t$ é dada por:

$P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_{n}(X).$

Aqui, $P_{n}(X)$ é a probabilidade que o processo assuma o valor $X$ depois de $n$ saltos e $P(n,t)$ é a probabilidade de ter $n$ saltos depois do tempo $t$.

Fórmula de Montroll–Weiss

Denotamos por $\tau$ o tempo de espera entre dois saltos de $N(t)$ e por $\psi (\tau )$ sua distribuição. A transformada de Laplace de $\psi (\tau )$ é definida por:

${\tilde {\psi }}(s)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-\tau s}\psi (\tau ).$

De forma semelhante, a função característica da distribuição de saltos $f(\Delta X)$ é dada por sua transformada de Fourier:

${\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }d(\Delta X)e^{ik\Delta X}f(\Delta X).$

Pode-se mostrar que a transformada de Laplace–Fourier da probabilidade $P(X,t)$ é dada por:

${\hat {\tilde {P}}}(k,s)={\frac {1-{\tilde {\psi }}(s)}{s}}{\frac {1}{1-{\tilde {\psi }}(s){\hat {f}}(k)}}.$

Esta é a chamada fórmula de Montroll–Weiss.

Exemplos

O processo de Wiener é o exemplo padrão de um passeio aleatório de tempo contínuo no qual os tempos de espera são exponenciais e os saltos são contínuos e normalmente distribuídos.