Coordenadas elípticas: diferenças entre revisões
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Linha 10: | Linha 10: | ||
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x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \\ |
x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \\ |
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y = |
y = b \ \sinh \mu \ \sin \nu \end{cases} |
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Onde: |
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Revisão das 14h42min de 29 de maio de 2014
As coordenadas elípticas são um sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as linhas coordenadas são elipses e hipérboles com os mesmos focos. Os focos e estão geralmente fixos nas posições e , respectivamente, sobre o eixo de um sistema cartesiano cujos eixos são eixos de simetría das linhas coordenadas hiperbólicas e elípticas.
As coordenadas elípticas cilíndricas são um sistema tridimensional obtido rotacionando o sistema anterior em torno do eixo dos focos e adicionando uma coordenada angular polar adicional.
Definição
A definição mais comum das coordenadas elípticas bidimensionais é:
Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle '"`UNIQ--math-00000006-QINU`"'}
Onde:
- é um número real não-negativo e
- .
No plano complexo, existe uma relação equivalente dada por:
Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle '"`UNIQ--math-0000000A-QINU`"' }
Estas definições correspondem à elipses e hipérboles. A identidade trigonométrica
Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle '"`UNIQ--math-0000000C-QINU`"' }
mostra que as curvas com constante são elipses, enquanto que a identidade trigonométrica hiperbólica
Falhou a verificação gramatical (erro de sintaxe): {\displaystyle '"`UNIQ--math-0000000F-QINU`"' }
mostra que as curvas com constante são hipérboles.
Aplicações
As aplicacões clássicas das coordenadas elípticas são a resolução de equações diferenciais parciais como a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as que as coordenadas elípticas admitam separação de variáveis. Um exemplo típico é a carga elétrica que rodeia um condutor plano de largura 2a. Ou o campo de duas cargas elétricas pontuais de mesmo sinal a uma distância 2a.