Relação de Einstein (teoria cinética)

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Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

 D = {{\mu_q \, k_B T}\over{q}} (difusão de partículas carregadas)
 D=\frac{k_B T}{6\pi\,\eta\,r} ("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de aprtículas esféricas através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

A forma mais geral da equação é:

 D = \mu \, k_B T

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = vd / F.

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral[editar | editar código-fonte]

Equação da mobilidade elétrica[editar | editar código-fonte]

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μq é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μq/q. Entretanto, a forma geral da equação

 D = \mu \, k_B T

é no caso de uma partícula carregada:

 D = \frac{\mu_q \, k_B T}{q}

Equação de Einstein–Stokes[editar | editar código-fonte]

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade \mu é o inverso do coeficiente de arrasto \zeta. Uma constante de amortecimento, \gamma, é frequentemente usada no contexto de \gamma^{-1}, o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio r, a lei de Stokes fornece

 \zeta = m\gamma = 6 \pi \, \eta \, r,

onde \eta é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein tornasse

 D=\frac{k_B T}{6\pi\,\eta\,r}

Semicondutor[editar | editar código-fonte]

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é[1]

 D = {{\mu_q \, p}\over{q  {{d \, p}\over{d \eta}}}}

onde  \eta é o potencial químico e p o número de partículas.

Prova do caso geral[editar | editar código-fonte]

(Esta é a demonstração em uma dimensão, mas é idêntica a uma demonstração em duas ou três dimensões: Apenas substitui-se d/dx com \nabla. Essencialmente a mesma deonstração é encontrada em muitos lugares, por exemplo ver Kubo.[2] )

Supondo-se alguma energia potencial U cria uma força sobre uma partícula F=-dU/dx (por exemplo, uma força elétrica). Assumindo-se que a partícula irá responder, outras coisas iguais, por mover-se com velocidade v=\mu F. Agora assume-se que existe um grande número de tais partículas, com concentração f(x) como uma função da posição. Após algum tempo, o equilíbrio irá ser estabelecido: As partículas irão "acumular-se" em torno das áreas com mais baixa U, mas ainda serão espalhadas em certa medida por causa da difusão aleatória. Neste ponto, não há um fluxo em balanço, resultante, de partículas: A tendência das partículas para serem empurradas para mais baixa U (chamada "corrente de deriva") é igual e oposta à tendência das partículas de se espalhar devido à difusão (chamada "corrente de difusão").

O fluxo resultante de partículas devido à corrente de deriva isolado é

J_\mathrm{deriva}(x) = \mu \, F(x) \, f(x) = -f(x) \mu \frac{dU}{dx}

(i.e. o número de partículas fluindo após um ponto é a concentração de partículas vezes a velocidade média.)

O fluxo líquido (resultante) de partículas devido à corrente de difusão isolada é, pela lei de Fick

J_\mathrm{difus.} (x)=-D \frac{df}{dx}

(o sinal negativo significa que as partículas fluem da maior concentração para a mais baixa).

O equilíbrio requer:

0 = J_\mathrm{deriva} + J_\mathrm{difus.} = -f(x) \mu \frac{dU}{dx} - D \frac{df}{dx}

No equilíbrio, pode-se aplicar termodinâmica, em particular a estatística de Boltzmann, para inferir que

f(x) = A e^{-U/(k_B T)}

onde A é alguma constante relacionada com o número total de partículas. Portanto, com a regra da cadeia,

 \frac{df}{dx} = \frac{-dU/dx}{k_B T} f(x).

Finalmente, ligando isso em:

0 = J_\mathrm{deriva} + J_\mathrm{difus.} = -f(x) \mu \frac{dU}{dx} - D \frac{df}{dx} = -f(x)\frac{dU}{dx} \left(\mu-\frac{D}{k_B T}\right)

Como esta equação deve se sustentar em todos os locais,

\mu=\frac{D}{k_B T}.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (HOLT, RINEHART AND WINSTON, New York, 1988).
  2. The fluctuation-dissipation theorem, R Kubo, Rep. Prog. Phys. 29, 255–284 (1966).
  • "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [1]