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Uma coleção de círculos e o gráfico de disco da unidade correspondente

A geometria discreta e a geometria combinatória são ramos de geometria que estudam propriedades combinatórias e métodos construtivos de objetos geométricos discretos. A maioria das questões em geometria discreta envolvem conjuntos finitos ou discretos de objetos geométricos básicos, como pontos, linhas, planos, círculos, esferas, polígonos e assim por diante. O assunto centra-se nas propriedades combinatórias desses objetos, como a forma como eles se cruzam, ou como eles podem ser organizados para cobrir um objeto maior.

A geometria discreta possui uma grande sobreposição com geometria convexa e geometria computacional, e está intimamente relacionada a assuntos como geometria finita, otimização combinatória, geometria digital, geometria diferencial discreta, teoria geométrica dos grafos, geometria torácica e topologia combinatória.

História

Embora poliedros e tesselagens tenham sido estudados por muitos anos por pessoas como Kepler e Cauchy, a geometria discreta moderna tem suas origens no final do século XIX. Os primeiros tópicos estudados foram: a densidade das embalagens em círculo por Thue, as configurações projetivas de Reye e Steinitz, a geometria dos números de Minkowski e as cores do mapa de Tait, Heawood e Hadwiger.

László Fejes Tóth, H.S.M. Coxeter e Paul Erdős, lançaram as bases da geometria discreta.

Tópicos na geometria discreta

Poliedros e polítopos

Um polítopo é um objeto geométrico com lados planos, que existe em qualquer número geral de dimensões. Um polígono é um polítopo em duas dimensões, um poliedro em três dimensões, e assim por diante em dimensões mais altas (como um 4-polítopo em quatro dimensões). Algumas teorias generalizam ainda mais a idéia para incluir objetos como polítopos ilimitados (apeirotopes e tesselagens) e polítopos abstratos.

Os seguintes são alguns dos aspectos dos polítopos estudados em geometria discreta:

• Combinação poliédrica
• Polítopos de estrutura
• Polinômios de Ehrhart
• Teorema de Pick
• Conjetura de Hirsch

Embalagens, revestimentos e pavimentação

Embalagens, revestimentos e pavimentação são formas de organizar objetos uniformes (normalmente círculos, esferas ou ladrilhos) de forma regular em uma superfície ou coletor.

Uma embalagem de esfera é um arranjo de esferas que não se sobrepõem dentro de um espaço contendo. As esferas consideradas são geralmente de tamanho idêntico, e o espaço geralmente é espaço euclidiano tridimensional. No entanto, os problemas de embalagem da esfera podem ser generalizados para considerar as esferas desiguais, o espaço euclidiano n-dimensional (onde o problema se torna embalagem em círculo em duas dimensões, ou embalagem de hiperesfera em dimensões superiores) ou para espaços não-euclidianos, como o espaço hiperbólico.

Uma tesselagem de uma superfície plana é a telha de um avião usando uma ou mais formas geométricas, chamadas telhas, sem sobreposições e sem lacunas. Em matemática, as tesselagens podem ser generalizadas para maiores dimensões.

Tópicos específicos nesta área incluem:

• Embalagens de círculo 
• Embalagens de esfera 
• Conjetura de Kepler 
• Quasicristais
• Tábuas aperiódicas
• Gráfico periódico 
• Regras de subdivisão finita

Estrutura estrutural e flexibilidade

Os gráficos são desenhados como hastes conectadas por dobradiças rotativas. O gráfico de ciclo C4 desenhado como um quadrado pode ser inclinado pela força azul em um paralelogramo, por isso é um gráfico flexível. K3, desenhado como um triângulo, não pode ser alterado por qualquer força que lhe seja aplicada, por isso é um gráfico rígido.

A rigidez estrutural é uma teoria combinatória para prever a flexibilidade de conjuntos formados por corpos rígidos conectados por ligações flexíveis ou dobradiças.

Os tópicos nesta área incluem:

• Teorema de Cauchy
• Poliedros flexíveis

Estruturas de incidência

Sete pontos são elementos de sete linhas no plano fano, um exemplo de uma estrutura de incidência.

As estruturas de incidência generalizam planos (como planos afins, projetivos e möbius), como pode ser visto a partir de suas definições axiomáticas. As estruturas de incidência também generalizam os análogos de maior dimensão e as estruturas finitas às vezes são chamadas de geometrias finitas.

Formalmente, uma estrutura de incidência é um triplo

$C=(P,L,I).\,$

Onde P é um conjunto de "pontos", L é um conjunto de "linhas" e $I\subseteq P\times L$ é a relação de incidência. Os elementos de $I$ são chamados de bandeiras. E se

$(p,l)\in I,$

Nós dizemos que o ponto p "está na" linha $l$.   

Os tópicos nesta área incluem:  

• Configurações 
• Arranjos de linha 
• Arranjos Hyperplane 
• Edifícios

Matroids orientados

Um matroid orientado é uma estrutura matemática que abstrai as propriedades de gráficos direcionados e de arranjos de vetores em um espaço vetorial em um campo ordenado (particularmente para espaços vetoriais parcialmente ordenados). Em comparação, um matróide comum (ou seja, não orientado) abstrai as propriedades de dependência que são comuns tanto aos gráficos, que não são necessariamente direcionados, quanto a arranjos de vetores sobre campos, que não são necessariamente ordenados.

Teoria do gráfico geométrico

Um gráfico geométrico é um gráfico em que os vértices ou bordas estão associados a objetos geométricos. Exemplos incluem gráficos euclidianos, o 1 esqueleto de um poliedro ou politropo, gráficos de interseção e gráficos de visibilidade.

Os tópicos nesta área incluem:

• Desenho de gráfico 
• Gráficos politécnicos 
• Diagramas de Voronoy e triangulações de Delaunay

Complementos simplicais

Um complexo simplicial é um espaço topológico de um certo tipo, construído por pontos "colagem em conjunto", segmentos de linha, triângulos e suas contrapartes n-dimensionais (ver ilustração). Os complexos simplicais não devem ser confundidos com a noção mais abstrata de um conjunto simplicial que aparece na teoria da homotopia simplicial moderna. A contrapartida puramente combinatória de um complexo simplicial é um complexo simplicial abstrato.

Combinação topológica

A disciplina de topologia combinatória usou conceitos combinatórios em topologia e no início do século 20 isso se transformou em campo de topologia algébrica.

Em 1978, a situação foi revertida - os métodos da topologia algébrica foram usados para resolver um problema na combinatória - quando László Lovász provou a conjectura de Kneser, iniciando assim o novo estudo da combinatória topológica. A prova de Lovász usou o teorema de Borsuk-Ulam e este teorema mantém um papel proeminente neste novo campo. Este teorema tem muitas versões e análises equivalentes e tem sido utilizado no estudo de problemas de divisão justa.

Os tópicos nesta área incluem:

• O lema de Sperner 
• Mapas regulares

Grades e grupos discretos

Um grupo discreto é um grupo G equipado com a topologia discreta. Com esta topologia, G torna-se um grupo topológico. Um subgrupo discreto de um grupo topológico G é um subgrupo H cuja topologia relativa é discreta. Por exemplo, os números inteiros, Z, formam um subgrupo discreto dos reais, R (com a topologia métrica padrão), mas os números racionais, Q, não.

Uma rede em um grupo topológico localmente compacto é um subgrupo discreto com a propriedade de que o espaço quociente possui uma medida invariante finita. No caso especial de subgrupos de Rn, isso equivale à noção geométrica usual de uma rede, e tanto a estrutura algébrica das redes como a geometria da totalidade de todas as redes são relativamente bem compreendidas. Os resultados profundos de Borel, Harish-Chandra, Mostow, Tamagawa, S. Raghunathan, Margulis, Zimmer, obtidos a partir da década de 1950, na década de 1970, forneceram exemplos e generalizaram grande parte da teoria para o estabelecimento de grupos de Lie nilpotentes e grupos algébricos semisimples em um campo local. Na década de 1990, Bass e Lubotzky iniciaram o estudo das redes de árvores, que permanecem uma área de pesquisa ativa.

Os tópicos nesta área incluem:

• Grupos de reflexão 
• Grupos triangulares

Geometria digital

A geometria digital trata de conjuntos discretos (geralmente conjuntos de pontos discretos) considerados modelos digitalizados ou imagens de objetos do espaço euclidiano 2D ou 3D.

Simplificando, a digitalização está substituindo um objeto por um conjunto discreto de seus pontos. As imagens que vemos na tela da TV, a exibição em quadriculação de um computador ou nos jornais são de fato imagens digitais.

Suas principais áreas de aplicação são a computação gráfica e análise de imagens.

Geometria diferencial discreta

A geometria diferencial discreta é o estudo de contrapartes discretas de noções em geometria diferencial. Em vez de curvas e superfícies lisas, existem polígonos, malhas e complexos simpliciais. É utilizado no estudo de computação gráfica e combinatória topológica.

Os tópicos nesta área incluem:

• Operador discreto de Laplace 
• Cálculo exterior discreto 
• Teoria Morse discreta 
• Combinação topológica 
• Análise de forma espectral 
• Geometria diferencial abstrata 
• Análise em fractals 

Veja também

• Geometria computacional
• Matemática discreta 
• Paul Erdős

Referências

[[Categoria:Geometria discreta]]