Álgebra de Clifford

As álgebras de Clifford são álgebras associativas de importância na matemática, em particular na teoria da forma quadrática e do grupo ortogonal e na física. São nomeadas em homenagem a William Kingdon Clifford.

Definição formal

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo k e q : V → k uma forma quadrática em V. A álgebra de Clifford C(q) é uma álgebra associativa unital sobre k junto com a função linear i: V → C(q) definida pela seguinte propriedade universal: para cada álgebra associativa A sobre k com uma função linear j: V → A tal que para cada v em V se tenha j(v)² = q(v)1 (onde 1 denota a identidade multiplicativa de A), há um homomorfismo único da álgebra f: C(q) → A tal que o diagrama seguinte comuta:

${\begin{matrix}V&\to &C(q)\\\downarrow &\swarrow &\\A&&\end{matrix}}$

ou seja, de tal forma que fi = j.

A álgebra de Clifford existe e pode ser construída como segue: tome-se a álgebra tensorial T(V) construída pelo ideal gerado por

$v\otimes v-q(v)1$.

Se segue desta construção que i é injetivo, e V pode ser considerado como subespaço linear de C(q).

Seja

B(u, v) = q(u + v) - q(u) - q(v)

a forma bilinear associada a q. Que é uma consequência da definição que a identidade

uv + vu = B (u, v)

vale em C(q) para cada par (u, v) de vetores em V. Se o corpo é de característica distinta de 2 esta expressão pode ser utilizada como definição alternativa.

A álgebra de Clifford C(q) é filtrada por subespaços

k ⊂ k + V ⊂ k + V + V² ⊂ ...

dos elementos que podem ser escritos como monômios de 0, 1, 2,.. vetores em V. A álgebra graduada associada é canonicamente isomorfa à álgebra exterior Λ V do espaço vetorial. Isto mostra em particular que

dim C(q) = 2^{dim V}.

Uma maneira mais simples de considerar isto é elegendo uma base arbitrária e₁, e₂..... para V. Usando a relação de anticomutação podemos expressar sempre um elemento da álgebra de Clifford como combinação linear de monômios do tipo

$e_{i_{1}}e_{i_{2}}e_{i_{3}}\cdots e_{i_{n}},i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$

que resulta num isomorfismo explícito com a álgebra exterior. Observe-se que este é um isomorfismo de espaços vetoriais, não de álgebras.

Se V tem dimensão finita par, o corpo é algebricamente fechado e a forma quadrática é não degenerada, a álgebra de Clifford é central simples. Assim pelo teorema de Artin-Wedderburn é (não canonicamente) isomorfa a uma álgebra de matrizes. Se segue que neste caso C(q) tem uma representação irreduzível de dimenssão 2^dim(V)/2 que é única salvo um isomorfismo (não único). Esta é a famosa representação por espinor), e seus vetores se chamam espinores.

Em caso de que o corpo k seja o corpo de números reais a álgebra de Clifford de uma forma quadrática de assinatura p, q é geralmente denotada C(p, q). Eles foram classificadas como álgebras reais de Clifford como segue.

Aplicações em física

As álgebras de Clifford são importantes na física. Os físicos consideram geralmente as álgebras de Clifford expressas pelas matrizes γ₁...,γ_n que tem a propriedade que

γ_i γ_j + γ_j γ_i = 2δ_i,j

onde δ é a matriz de uma forma quadrática do tipo p,q em relação a uma base ortonormal de e₁,..., e_n.

Ver também

• Representações de álgebras de Clifford

Ligações externas

• Álgebra de Clifford no MathWorld
• Álgebra de Clifford em math.ucr.edu