Funções elípticas de Weierstrass

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, funções elípticas de Weierstrass são funções elípticas que tomam uma forma particularmente simples (cf funções elípticas de Jacobi); elas não nomeadas em referência a Karl Weierstrass. Esta classe de funções são também tratadas como funções P e geralmente escritas usando o símbolo (uma letra p estilizada chamada p Weierstrass).

Símbolo para a função P de Weierstrass.

Definições[editar | editar código-fonte]

A função P de Weierstrass definida sobre uma porção do plano complexo utilizando uma técnica usual de visualização na qual o branco corresponde a um polo, preto a um zero, e a máxima saturação a Notar um retículo regular dos polos, e dois retículos que se entrecruzam de zeros.

Pode-se definir à função elíptica de Weierstrass de três maneiras muito similares, cada uma delas possui certas vantagens. Uma é como uma função de variável complexa e uma retículo no plano complexo. Outra é em termos de e dois números complexos e que definem um par de geradores, ou períodos, do retículo. A terceira é em termo de e de um módulo no semiplano superior. Esta se relaciona com a definição prévia mediante a seguinte expressão , a qual em virtude da convenção usual de pares de períodos se encontra no semiplano superior. Utilizando este método, para um fixo as funções de Weierstrass resultam ser funções modulares de .

Considerando os dois períodos a função elíptica de Weierstrass é uma função elíptica com períodos e definida como

Então são os pontos do par de retículos, pelo que

para todo par de geradores do retículo define a função de Weierstrass como uma função de uma variável complexa e um retículo.

Se é um número complexo no semiplano superior, então

A soma indicada anteriormente é homogênea com um grau menos dois, com o qual se pode definir a função de Weierstrass para todo par de períodos, como

Pode-se calcular de forma direta e rápida em termo das funções teta; porque as mesmas convergem rapidamente, esta é uma forma mais veloz de computar-se que as séries que nós usamos para definí-las. A fórmula é

onde

Existe um polo de segunda ordem em cada ponto do retículo do período (incluindo a origem). Com estas definições, é uma função par e sua derivada em relação a , , é uma função ímpar. Posteriores desenvolvimentos da teoria das funções elípticas mostram que a condição sobre a função de Weierstrass (corretamente chamada pe) é determinada pela adição de uma constante e multiplicação por uma constante não nula sobre os polos isolados, entre todos as funções meromorfas com o retículo do período dado.

Invariantes[editar | editar código-fonte]

A parte real do invariante g3 como uma função do nome q sobre o disco unidade.
A parte imaginária do invariante g3 como uma função do nome q sobre o disco unidade.

Se pontos próximos à origem são considerados a série de Laurent apropriada é

onde

(aqui e uma soma tracejada referem-se ao somatório sobre todos os pares de inteiros exceto ). Os números e são conhecidos como os invariantes — são dois termos externos da série de Eisenstein. (Abramowitz e Stegun limitam-se ao caso de real e , estabelecendo neste caso "parecer abranger a maioria das aplicações"; isto pode ser verdadeiro do ponto de vista de matemática aplicada. Se é real e puramente imaginário, ou se , os invariantes são reais).

Note-se que e são funções homogêneas de grau -4 e -6; isto é,

e

Então, por convenção, frequentemente escreve-se e em termos de razão de meio período e toma-se situando-se no meio plano superior. Então, e .

A série de Fourier para e pode ser escrita em termos do quadrado da nome como

e

onde é a função divisor. Esta fórmula pode ser reescrita em termos de série de Lambert.

Os invariantes podem ser expressos em termos de funções teta de Jacobi. Este método é muito conveniente para cálculo numérico: as funções teta convergem muito rapidamente. Na notação de Abramowitz e Stegun, mas notando os semiperíodos primitivos por , os invariantes satisfazem

e

onde é o razão de meio período e é o nome.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Se os invariantes são , , então isto é conhecido como o caso equianarmônico; , é o caso lemniscática.

Equação diferencial[editar | editar código-fonte]

Com esta notação, a função satisfaz a seguinte equação diferencial:

onde a dependência em e é suprimida.

Equação integral[editar | editar código-fonte]

A função elíptica de Weierstrass pode ser dada como a inversa de uma integral elíptica.

Fazendo-se

Aqui, g2 e g3 são tomados como constantes. Então tem-se

O acima segue-se diretamente por integração da equação diferencial.

Discriminante modular[editar | editar código-fonte]

A parte real do discriminante como uma função do nome q no disco unidade.

O discriminante modular é definido como

Isto é estudado na forma adequada, como uma forma parabólica, na teoria da forma modular (isto é, como uma função do retículo do período).

Note-se que onde é a função eta de Dedekind.

A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como na função eta e no retículo Leech.

O discriminante é uma forma modular de peso 12. Isto é, sob a ação de grupo modular, transforma-se como

com τ sendo a razão de meio período, e a,b,c e d sendo inteiros, com ad − bc = 1.

As constantes e1, e2 e e3[editar | editar código-fonte]

Considerando-se a equação polinomial cúbica com raízes , , e . Se o discriminante não é zero, nem duas destas raízes são igauis. Já que o termo quadrático desta polinomial cúbica é zero, as raízes são relacionadas pela equação

Os coeficientes lineare e constante (g2 and g3, respectivamente) são relacionados às raízes pelas equações[1]

No caso de invariantes reais, o sinal de determina a natureza das raízes. Se , todas as três são reais e é convencional nomeá-las então . Se , é convencional escrever-se (onde , ), onde e é real e não negativa.

Os meio períodos ω1 e ω2 da função elíptica de Weierstrass são relacionados às raízes

onde . Desde que a derivada da função elíptica de Weierstrass iguala-se the above polinomial cúbico do valor da função, para ; se o valor da função iguala-se a raiz do polinômio, a derivada é zero.

Se e são reais e , a são todos reais, e é real sobre o perímetro do retângulo com vértices , , , e . Se as raízes são ordenadas como above (), então o primeiro meio período é completamente real

considerando-se que o terceiro meio período é completamente imaginário

Teoremas de adição[editar | editar código-fonte]

As funções elípticas de Weierstrass tem diversas propriedades que podem ser provadas:

(uma versão simétrica seria

Onde ).

Além disso

e a fórmula da duplicação

exceto que é um período.

O caso com 1 um meio período básico[editar | editar código-fonte]

Se , muito da teoria acima torna-se mais simples; é então convencional escrever-se para . Para um τ fixo no meio plano superior, então a parte imaginária de τ é positiva, nós definimos a função Weierstrass por

A soma estende-se sobre o retículo {n+mτ : n e m in Z} com a origem omitida.

Aqui consideramos τ como fixo e como uma função de ; fixando e deixando τ variar a condução dentro da área das funções elípticas modulares.

Teoria geral[editar | editar código-fonte]

é uma função meromorfa no plano complexo com um duplo polo a cada ponto do retículo. É duplamente periódico com os períodos 1 e τ; isto significa que satisfaz

A soma acima é homogênea de grau menos dois, e se é qualquer número complexo não zero,

dos quais nós podemos definir a função Weierstrass para qualquer par de períodos. Nós também podemos tomar a derivada (evidentemente, em relação a z) e obter uma função algebricamente relacionada a por

onde and depende somente de τ, sendo forma modular. A equação

define uma curva elíptica, e nós vemos que é uma parametrização desta curva.

A totalidade das funções meromorfas duplamente periódicas com dados períodos define uma função corpo algébrico, associado a esta curva.

Podemos mostrar que este corpo é

então todas estas funções são funções racionais na função Weierstrass e sua derivada.

Nós também podemos inserir um paralelograma de período único em um toro, ou superfície de Riemann em forma de "donut" , e tendo as funções elípticas associadas a um dado par de períodos como sendo funções definidas sobre esta superfície de Riemann.

As raízes , , e da equação dependem de τ e podem ser expressas em termos de funções teta; nós temos

Dado que e nós temos estes também em termos de funções teta.

Podemos também expressar em termos de funções theta; porque estas convergem muito rapidamente, este é um meio mais rápido de cálculo que as séries que usamos para definí-las.

A função tem dois zeros (módulos de períodos) e a função tem três. Os zeros de são fáceis de serem encontrados: dado que é uma função ímpar devem estar em pontos de meio período. Por outro lado é muito difícil expressar os zeros de por forma fechada, exceto para valores especiais do módulo (e.g. quando o retículo do período é inteiro de Gauss). Uma expressão foi encontrada por Zagier e Eichler.[2]

A teoria de Weierstrass também inclui a função zeta de Weierstrass, a qual é uma integral indefinida de e não duplamente periódica, e uma função teta chamada função sigma de Weierstrass, da qual sua função zeta é a derivada logarítmica. A função sigma tem zeros em todos os pontos do período (somente), e pode ser expressa em termos de funções de Jacobi. Isto dá um meio de conversão entre notações de Weierstrass e Jacobi.

A função sigma de Weierstrass é uma função inteira; desempenha o papel de função 'típica' na teoria de funções inteiras aleatórias de J. E. Littlewood.

Relação com as funções elípticas de Jacobi[editar | editar código-fonte]

Para trabalho numérico, é frequentemente conveniente calcular a função elíptica de Weierstrass em termos das funções elípticas de Jacobi. As relações básicas são[3]

onde e1-3 são as três raízes descritas acima e onde o módulo k das funções de Jacobi iguala-se

e seu argumento w iguala-se

Referências

  1. Abramowitz and Stegun, p. 629
  2. M. Eichler and D. Zagier, On the zeros of the Weierstrass ℘-Function, Mathematische Annalen, Volume 258, Number 4, December 1982.
  3. Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (New York: McGraw-Hill). p. 721. LCCN 59-14456. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]