Funções elípticas de Weierstrass

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Em matemática, funções elípticas de Weierstrass são funções elípticas que tomam uma forma particularmente simples (cf funções elípticas de Jacobi); elas não nomeadas em referência a Karl Weierstrass. Esta classe de funções são também tratadas como funções P e geralmente escritas usando o símbolo \wp (uma letra p estilizada chamada p Weierstrass).

Símbolo para a função P de Weierstrass.

Definições[editar | editar código-fonte]

A função P de Weierstrass definida sobre uma porção do plano complexo utilizando uma técnica usual de visualização na qual o branco corresponde a um polo, preto a um zero, e a máxima saturação a \left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;. Notar um retículo regular dos polos, e dois retículos que se entrecruzam de zeros.

Pode-se definir à função elíptica de Weierstrass de três maneiras muito similares, cada uma delas possui certas vantagens. Uma é como uma função de variável complexa z e uma retículo \Lambda no plano complexo. Outra é em termos de z e dois números complexos \omega_1 e \omega_2 que definem um par de geradores, ou períodos, do retículo. A terceira é em termo de z e de um módulo \tau no semiplano superior. Esta se relaciona com a definição prévia mediante a seguinte expressão \tau = \omega_2/\omega_1, a qual em virtude da convenção usual de pares de períodos se encontra no semiplano superior. Utilizando este método, para um z fixo as funções de Weierstrass resultam ser funções modulares de \tau.

Considerando os dois períodos a função elíptica de Weierstrass é uma função elíptica com períodos \omega_1 e \omega_2 definida como


\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+
\sum_{m^2+n^2 \ne 0}
\left\{
\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}-
\frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2}
\right\}.

Então \Lambda=m\omega_1+n\omega_2 são os pontos do par de retículos, pelo que

\wp(z;\Lambda)=\wp(z;\omega_1,\omega_2)

para todo par de geradores do retículo define a função de Weierstrass como uma função de uma variável complexa e um retículo.

Se \tau é um número complexo no semiplano superior, então

\wp(z;\tau) = \wp(z;1,\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}.

A soma indicada anteriormente é homogênea com um grau menos dois, com o qual se pode definir a função \wp de Weierstrass para todo par de períodos, como

\wp(z;\omega_1,\omega_2) = \wp(z/\omega_1; \omega_2/\omega_1)/\omega_1^2.

Pode-se calcular \wp de forma direta e rápida em termo das funções teta; porque as mesmas convergem rapidamente, esta é uma forma mais veloz de computar-se \wp que as séries que nós usamos para definí-las. A fórmula é

\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)} + e_2(\tau)

onde

e_2(\tau) = -{\pi^2 \over {3}}(\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)).

Existe um polo de segunda ordem em cada ponto do retículo do período (incluindo a origem). Com estas definições, \wp(z) é uma função par e sua derivada em relação a z, \wp', é uma função ímpar. Posteriores desenvolvimentos da teoria das funções elípticas mostram que a condição sobre a função de Weierstrass (corretamente chamada pe) é determinada pela adição de uma constante e multiplicação por uma constante não nula sobre os polos isolados, entre todos as funções meromorfas com o retículo do período dado.

Invariantes[editar | editar código-fonte]

A parte real do invariante g3 como uma função do nome q sobre o disco unidade.
A parte imaginária do invariante g3 como uma função do nome q sobre o disco unidade.

Se pontos próximos à origem são considerados a série de Laurent apropriada é


\wp(z;\omega_1,\omega_2)=z^{-2}+\frac{1}{20}g_2z^2+\frac{1}{28}g_3z^4+O(z^6)

onde

g_2= 60\sum{}' \Omega_{m,n}^{-4},\qquad
       g_3=140\sum{}' \Omega_{m,n}^{-6}.

(aqui \Omega_{m,n}=m\omega_1+n\omega_2 e uma soma tracejada referem-se ao somatório sobre todos os pares de inteiros exceto m=n=0). Os números g_2 e g_3 são conhecidos como os invariantes — são dois termos externos da série de Eisenstein. (Abramowitz e Stegun limitam-se ao caso de g_2 real e g_3, estabelecendo neste caso "parecer abranger a maioria das aplicações"; isto pode ser verdadeiro do ponto de vista de matemática aplicada. Se \omega_1 é real e \omega_2 puramente imaginário, ou se \omega_1=\overline{\omega_2}, os invariantes são reais).

Note-se que g_2 e g_3 são funções homogêneas de grau -4 e -6; isto é,

g_2(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-4} g_2(\omega_1, \omega_2)

e

g_3(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-6} g_3(\omega_1, \omega_2).

Então, por convenção, frequentemente escreve-se g_2 e g_3 em termos de razão de meio período \tau=\omega_2/\omega_1 e toma-se \tau situando-se no meio plano superior. Então, g_2(\tau)=g_2(1, \omega_2/\omega_1) e g_3(\tau)=g_3(1, \omega_2/\omega_1).

A série de Fourier para g_2 e g_3 pode ser escrita em termos do quadrado da nome q=\exp(i\pi\tau) como

g_2(\tau)=\frac{4\pi^4}{3} \left[ 1+ 240\sum_{k=1}^\infty \sigma_3(k) q^{2k} \right]

e

g_3(\tau)=\frac{8\pi^6}{27} \left[ 1- 504\sum_{k=1}^\infty \sigma_5(k) q^{2k} \right]

onde \sigma_a(k) é a função divisor. Esta fórmula pode ser reescrita em termos de série de Lambert.

Os invariantes podem ser expressos em termos de funções teta de Jacobi. Este método é muito conveniente para cálculo numérico: as funções teta convergem muito rapidamente. Na notação de Abramowitz e Stegun, mas notando os semiperíodos primitivos por \omega_1,\omega_2, os invariantes satisfazem


g_2(\omega_1,\omega_2) =
\frac{\pi^4}{12\omega_1^4}
\left(
    \theta_2(0,q)^8-\theta_3(0,q)^4\theta_2(0,q)^4+\theta_3(0,q)^8
\right)

e


g_3(\omega_1,\omega_2) =
\frac{\pi^6}{(2\omega_1)^6}
\left[
   \frac{8}{27}\left(\theta_2(0,q)^{12}+\theta_3(0,q)^{12}\right)\right.
\left. -
   \frac{4}{9}\left(\theta_2(0,q)^4+\theta_3(0,q)^4\right)\cdot
              \theta_2(0,q)^4\theta_3(0,q)^4
\right]

onde \tau=\omega_2/\omega_1 é o razão de meio período e q=e^{\pi i\tau} é o nome.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

Se os invariantes são g_2=0, g_3=1, então isto é conhecido como o caso equianarmônico; g_2=1, g_3=0 é o caso lemniscática.

Equação diferencial[editar | editar código-fonte]

Com esta notação, a função \wp satisfaz a seguinte equação diferencial:


[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,

onde a dependência em \omega_1 e \omega_2 é suprimida.

Equação integral[editar | editar código-fonte]

A função elíptica de Weierstrass pode ser dada como a inversa de uma integral elíptica.

Fazendo-se

u = \int_y^\infty \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}.

Aqui, g2 e g3 são tomados como constantes. Então tem-se

y=\wp(u).

O acima segue-se diretamente por integração da equação diferencial.

Discriminante modular[editar | editar código-fonte]

A parte real do discriminante como uma função do nome q no disco unidade.

O discriminante modular \Delta é definido como


\Delta=g_2^3-27g_3^2.

Isto é estudado na forma adequada, como uma forma parabólica, na teoria da forma modular (isto é, como uma função do retículo do período).

Note-se que \Delta=(2\pi)^{12}\eta^{24} onde \eta é a função eta de Dedekind.

A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como na função eta e no retículo Leech.

O discriminante é uma forma modular de peso 12. Isto é, sob a ação de grupo modular, transforma-se como

\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =
\left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)

com τ sendo a razão de meio período, e a,b,c e d sendo inteiros, com ad − bc = 1.

As constantes e1, e2 e e3[editar | editar código-fonte]

Considerando-se a equação polinomial cúbica 4t^3-g_2t-g_3=0 com raízes e_1, e_2, e e_3. Se o discriminante \Delta = g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2} não é zero, nem duas destas raízes são igauis. Já que o termo quadrático desta polinomial cúbica é zero, as raízes são relacionadas pela equação


e_1+e_2+e_3=0.

Os coeficientes lineare e constante (g2 and g3, respectivamente) são relacionados às raízes pelas equações[1]


g_{2} = -4 \left( e_{1} e_{2} + e_{1} e_{3} + e_{2} e_{3} \right) = 2 \left( e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} \right)

g_{3} = 4 e_{1} e_{2} e_{3}.

No caso de invariantes reais, o sinal de \Delta determina a natureza das raízes. Se \Delta>0, todas as três são reais e é convencional nomeá-las então e_1>e_2>e_3. Se \Delta<0, é convencional escrever-se e_1=-\alpha+\beta i (onde \alpha\geq 0, \beta>0), onde e_3=\overline{e_1} e e_2 é real e não negativa.

Os meio períodos ω1 e ω2 da função elíptica de Weierstrass são relacionados às raízes


\wp(\omega_1)=e_1\qquad
\wp(\omega_2)=e_2\qquad
\wp(\omega_3)=e_3

onde \omega_3=-(\omega_1+\omega_2). Desde que a derivada da função elíptica de Weierstrass iguala-se the above polinomial cúbico do valor da função, \wp'(\omega_i)=0 para i=1,2,3; se o valor da função iguala-se a raiz do polinômio, a derivada é zero.

Se g_2 e g_3 são reais e \Delta>0, a e_i são todos reais, e \wp() é real sobre o perímetro do retângulo com vértices 0, \omega_3,  \omega_1+\omega_3, e \omega_1. Se as raízes são ordenadas como above (e_{1} > e_{2} > e_{3}), então o primeiro meio período é completamente real


\omega_{1} = \int_{e_{1}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}

considerando-se que o terceiro meio período é completamente imaginário


\omega_{3} = i \int_{-e_{3}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}.

Teoremas de adição[editar | editar código-fonte]

As funções elípticas de Weierstrass tem diversas propriedades que podem ser provadas:


\det\begin{bmatrix}
\wp(z) & \wp'(z) & 1\\
\wp(y) & \wp'(y) & 1\\
\wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1
\end{bmatrix}=0

(uma versão simétrica seria


\det\begin{bmatrix}
\wp(u) & \wp'(u) & 1\\
\wp(v) & \wp'(v) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1
\end{bmatrix}=0

Onde u+v+w=0).

Além disso


\wp(z+y)=\frac{1}{4}
\left\{
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right\}^2
-\wp(z)-\wp(y).

e a fórmula da duplicação


\wp(2z) =
\frac{1}{4}\left\{
\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z),

exceto 2z que é um período.

O caso com 1 um meio período básico[editar | editar código-fonte]

Se \omega_1=1, muito da teoria acima torna-se mais simples; é então convencional escrever-se \tau para \omega_2. Para um τ fixo no meio plano superior, então a parte imaginária de τ é positiva, nós definimos a função Weierstrass \wp por

\wp(z;\tau) =\frac{1}{z^2} + \sum_{n^2+m^2 \ne 0}{1 \over (z-n-m\tau)^2} - {1 \over (n+m\tau)^2}.

A soma estende-se sobre o retículo {n+mτ : n e m in Z} com a origem omitida.

Aqui consideramos τ como fixo e \wp como uma função de z; fixando z e deixando τ variar a condução dentro da área das funções elípticas modulares.

Teoria geral[editar | editar código-fonte]

\wp é uma função meromorfa no plano complexo com um duplo polo a cada ponto do retículo. É duplamente periódico com os períodos 1 e τ; isto significa que \wp satisfaz

\wp(z+1) = \wp(z+\tau) = \wp(z)

A soma acima é homogênea de grau menos dois, e se c é qualquer número complexo não zero,

\wp(cz;c\tau) = \wp(z;\tau)/c^2

dos quais nós podemos definir a função Weierstrass \wp para qualquer par de períodos. Nós também podemos tomar a derivada (evidentemente, em relação a z) e obter uma função algebricamente relacionada a \wp por

\wp'^2 = \wp^3 - g_2 \wp - g_3

onde g_2 and g_3 depende somente de τ, sendo forma modular. A equação

Y^2 = X^3 - g_2 X - g_3

define uma curva elíptica, e nós vemos que (\wp, \wp') é uma parametrização desta curva.

A totalidade das funções meromorfas duplamente periódicas com dados períodos define uma função corpo algébrico, associado a esta curva.

Podemos mostrar que este corpo é

\Bbb{C}(\wp, \wp'),

então todas estas funções são funções racionais na função Weierstrass e sua derivada.

Nós também podemos inserir um paralelograma de período único em um toro, ou superfície de Riemann em forma de "donut" , e tendo as funções elípticas associadas a um dado par de períodos como sendo funções definidas sobre esta superfície de Riemann.

As raízes e_1, e_2, e e_3 da equação X^3 - g_2 X - g_3 dependem de τ e podem ser expressas em termos de funções teta; nós temos

e_1(\tau) = {\pi^2 \over {3}}(\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{01}^4(0;\tau)),
e_2(\tau) = -{\pi^2 \over {3}}(\vartheta^4(0;\tau) + \vartheta_{10}^4(0;\tau)),
e_3(\tau) = {\pi^2 \over {3}}(\vartheta_{10}^4(0;\tau) - \vartheta_{01}^4(0;\tau)).

Dado que g_2 = -4(e_1e_2+e_2e_3+e_3e_1) e g_3 = 4e_1e_2e_3 nós temos estes também em termos de funções teta.

Podemos também expressar \wp em termos de funções theta; porque estas convergem muito rapidamente, este é um meio mais rápido de cálculo \wp que as séries que usamos para definí-las.

\wp(z; \tau) = \pi^2 \vartheta^2(0;\tau) \vartheta_{10}^2(0;\tau){\vartheta_{01}^2(z;\tau) \over \vartheta_{11}^2(z;\tau)} + e_2(\tau).

A função \wp tem dois zeros (módulos de períodos) e a função \wp' tem três. Os zeros de \wp' são fáceis de serem encontrados: dado que \wp' é uma função ímpar devem estar em pontos de meio período. Por outro lado é muito difícil expressar os zeros de \wp por forma fechada, exceto para valores especiais do módulo (e.g. quando o retículo do período é inteiro de Gauss). Uma expressão foi encontrada por Zagier e Eichler.[2]

A teoria de Weierstrass também inclui a função zeta de Weierstrass, a qual é uma integral indefinida de \wp e não duplamente periódica, e uma função teta chamada função sigma de Weierstrass, da qual sua função zeta é a derivada logarítmica. A função sigma tem zeros em todos os pontos do período (somente), e pode ser expressa em termos de funções de Jacobi. Isto dá um meio de conversão entre notações de Weierstrass e Jacobi.

A função sigma de Weierstrass é uma função inteira; desempenha o papel de função 'típica' na teoria de funções inteiras aleatórias de J. E. Littlewood.

Relação com as funções elípticas de Jacobi[editar | editar código-fonte]

Para trabalho numérico, é frequentemente conveniente calcular a função elíptica de Weierstrass em termos das funções elípticas de Jacobi. As relações básicas são[3]


\wp(z) = e_{3} + \frac{e_{1} - e_{3}}{\mathrm{sn}^{2} w}

= e_{2} + \left( e_{1} - e_{3} \right) \frac{\mathrm{dn}^{2} w}{\mathrm{sn}^{2} w}

= e_{1} + \left( e_{1} - e_{3} \right) \frac{\mathrm{cn}^{2} w}{\mathrm{sn}^{2} w}

onde e1-3 são as três raízes descritas acima e onde o módulo k das funções de Jacobi iguala-se


k \equiv \sqrt{\frac{e_{2} - e_{3}}{e_{1} - e_{3}}}

e seu argumento w iguala-se


w \equiv z \sqrt{e_{1} - e_{3}}.

Referências

  1. Abramowitz and Stegun, p. 629
  2. M. Eichler and D. Zagier, On the zeros of the Weierstrass ℘-Function, Mathematische Annalen, Volume 258, Number 4, December 1982.
  3. Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1961. 721 p. LCCN 59-14456

Ligações externas[editar | editar código-fonte]