Funções elípticas de Weierstrass
Em matemática, funções elípticas de Weierstrass são funções elípticas que tomam uma forma particularmente simples (cf funções elípticas de Jacobi); elas são nomeadas em referência a Karl Weierstrass. Esta classe de funções são também tratadas como funções P e geralmente escritas usando o símbolo (uma letra p estilizada chamada p Weierstrass).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Weierstrass_p.svg/100px-Weierstrass_p.svg.png)
Definições[editar | editar código-fonte]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Weierstrass_elliptic_function_P.png/200px-Weierstrass_elliptic_function_P.png)
Pode-se definir à função elíptica de Weierstrass de três maneiras muito similares, cada uma delas possui certas vantagens. Uma é como uma função de variável complexa e uma retículo no plano complexo. Outra é em termos de e dois números complexos e que definem um par de geradores, ou períodos, do retículo. A terceira é em termo de e de um módulo no semiplano superior. Esta se relaciona com a definição prévia mediante a seguinte expressão , a qual em virtude da convenção usual de pares de períodos se encontra no semiplano superior. Utilizando este método, para um fixo as funções de Weierstrass resultam ser funções modulares de .
Considerando os dois períodos a função elíptica de Weierstrass é uma função elíptica com períodos e definida como
Então são os pontos do par de retículos, pelo que
para todo par de geradores do retículo define a função de Weierstrass como uma função de uma variável complexa e um retículo.
Se é um número complexo no semiplano superior, então
A soma indicada anteriormente é homogênea com um grau menos dois, com o qual se pode definir a função de Weierstrass para todo par de períodos, como
Pode-se calcular de forma direta e rápida em termo das funções teta; porque as mesmas convergem rapidamente, esta é uma forma mais veloz de computar-se que as séries que nós usamos para definí-las. A fórmula é
onde
Existe um polo de segunda ordem em cada ponto do retículo do período (incluindo a origem). Com estas definições, é uma função par e sua derivada em relação a , , é uma função ímpar. Posteriores desenvolvimentos da teoria das funções elípticas mostram que a condição sobre a função de Weierstrass (corretamente chamada pe) é determinada pela adição de uma constante e multiplicação por uma constante não nula sobre os polos isolados, entre todos as funções meromorfas com o retículo do período dado.
Invariantes[editar | editar código-fonte]
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![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Gee_three_imag.jpeg/220px-Gee_three_imag.jpeg)
Se pontos próximos à origem são considerados a série de Laurent apropriada é
onde
(aqui e uma soma tracejada referem-se ao somatório sobre todos os pares de inteiros exceto ). Os números e são conhecidos como os invariantes — são dois termos externos da série de Eisenstein. (Abramowitz e Stegun limitam-se ao caso de real e , estabelecendo neste caso "parecer abranger a maioria das aplicações"; isto pode ser verdadeiro do ponto de vista de matemática aplicada. Se é real e puramente imaginário, ou se , os invariantes são reais).
Note-se que e são funções homogêneas de grau -4 e -6; isto é,
e
Então, por convenção, frequentemente escreve-se e em termos de razão de meio período e toma-se situando-se no meio plano superior. Então, e .
A série de Fourier para e pode ser escrita em termos do quadrado da nome como
e
onde é a função divisor. Esta fórmula pode ser reescrita em termos de série de Lambert.
Os invariantes podem ser expressos em termos de funções teta de Jacobi. Este método é muito conveniente para cálculo numérico: as funções teta convergem muito rapidamente. Na notação de Abramowitz e Stegun, mas notando os semiperíodos primitivos por , os invariantes satisfazem
e
onde é o razão de meio período e é o nome.
Casos especiais[editar | editar código-fonte]
Se os invariantes são , , então isto é conhecido como o caso equianarmônico; , é o caso lemniscática.
Equação diferencial[editar | editar código-fonte]
Com esta notação, a função satisfaz a seguinte equação diferencial:
onde a dependência em e é suprimida.
Equação integral[editar | editar código-fonte]
A função elíptica de Weierstrass pode ser dada como a inversa de uma integral elíptica.
Fazendo-se
Aqui, g2 e g3 são tomados como constantes. Então tem-se
O acima segue-se diretamente por integração da equação diferencial.
Discriminante modular[editar | editar código-fonte]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Discriminant_real_part.jpeg/220px-Discriminant_real_part.jpeg)
O discriminante modular é definido como
Isto é estudado na forma adequada, como uma forma parabólica, na teoria da forma modular (isto é, como uma função do retículo do período).
Note-se que onde é a função eta de Dedekind.
A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como na função eta e no retículo Leech.
O discriminante é uma forma modular de peso 12. Isto é, sob a ação de grupo modular, transforma-se como
com τ sendo a razão de meio período, e a,b,c e d sendo inteiros, com ad − bc = 1.
As constantes e1, e2 e e3[editar | editar código-fonte]
Considerando-se a equação polinomial cúbica com raízes , , e . Se o discriminante não é zero, nem duas destas raízes são igauis. Já que o termo quadrático desta polinomial cúbica é zero, as raízes são relacionadas pela equação
Os coeficientes lineare e constante (g2 and g3, respectivamente) são relacionados às raízes pelas equações[1]
No caso de invariantes reais, o sinal de determina a natureza das raízes. Se , todas as três são reais e é convencional nomeá-las então . Se , é convencional escrever-se (onde , ), onde e é real e não negativa.
Os meio períodos ω1 e ω2 da função elíptica de Weierstrass são relacionados às raízes
onde . Desde que a derivada da função elíptica de Weierstrass iguala-se the above polinomial cúbico do valor da função, para ; se o valor da função iguala-se a raiz do polinômio, a derivada é zero.
Se e são reais e , a são todos reais, e é real sobre o perímetro do retângulo com vértices , , , e . Se as raízes são ordenadas como above (), então o primeiro meio período é completamente real
considerando-se que o terceiro meio período é completamente imaginário
Teoremas de adição[editar | editar código-fonte]
As funções elípticas de Weierstrass tem diversas propriedades que podem ser provadas:
(uma versão simétrica seria
Onde ).
Além disso
e a fórmula da duplicação
exceto que é um período.
O caso com 1 um meio período básico[editar | editar código-fonte]
Se , muito da teoria acima torna-se mais simples; é então convencional escrever-se para . Para um τ fixo no meio plano superior, então a parte imaginária de τ é positiva, nós definimos a função Weierstrass por
A soma estende-se sobre o retículo {n+mτ : n e m in Z} com a origem omitida.
Aqui consideramos τ como fixo e como uma função de ; fixando e deixando τ variar a condução dentro da área das funções elípticas modulares.
Teoria geral[editar | editar código-fonte]
é uma função meromorfa no plano complexo com um duplo polo a cada ponto do retículo. É duplamente periódico com os períodos 1 e τ; isto significa que satisfaz
A soma acima é homogênea de grau menos dois, e se é qualquer número complexo não zero,
dos quais nós podemos definir a função Weierstrass para qualquer par de períodos. Nós também podemos tomar a derivada (evidentemente, em relação a z) e obter uma função algebricamente relacionada a por
onde and depende somente de τ, sendo forma modular. A equação
define uma curva elíptica, e nós vemos que é uma parametrização desta curva.
A totalidade das funções meromorfas duplamente periódicas com dados períodos define uma função corpo algébrico, associado a esta curva.
Podemos mostrar que este corpo é
então todas estas funções são funções racionais na função Weierstrass e sua derivada.
Nós também podemos inserir um paralelograma de período único em um toro, ou superfície de Riemann em forma de "donut" , e tendo as funções elípticas associadas a um dado par de períodos como sendo funções definidas sobre esta superfície de Riemann.
As raízes , , e da equação dependem de τ e podem ser expressas em termos de funções teta; nós temos
Dado que e nós temos estes também em termos de funções teta.
Podemos também expressar em termos de funções theta; porque estas convergem muito rapidamente, este é um meio mais rápido de cálculo que as séries que usamos para definí-las.
A função tem dois zeros (módulos de períodos) e a função tem três. Os zeros de são fáceis de serem encontrados: dado que é uma função ímpar devem estar em pontos de meio período. Por outro lado é muito difícil expressar os zeros de por forma fechada, exceto para valores especiais do módulo (e.g. quando o retículo do período é inteiro de Gauss). Uma expressão foi encontrada por Zagier e Eichler.[2]
A teoria de Weierstrass também inclui a função zeta de Weierstrass, a qual é uma integral indefinida de e não duplamente periódica, e uma função teta chamada função sigma de Weierstrass, da qual sua função zeta é a derivada logarítmica. A função sigma tem zeros em todos os pontos do período (somente), e pode ser expressa em termos de funções de Jacobi. Isto dá um meio de conversão entre notações de Weierstrass e Jacobi.
A função sigma de Weierstrass é uma função inteira; desempenha o papel de função 'típica' na teoria de funções inteiras aleatórias de J. E. Littlewood.
Relação com as funções elípticas de Jacobi[editar | editar código-fonte]
Para trabalho numérico, é frequentemente conveniente calcular a função elíptica de Weierstrass em termos das funções elípticas de Jacobi. As relações básicas são[3]
onde e1-3 são as três raízes descritas acima e onde o módulo k das funções de Jacobi iguala-se
e seu argumento w iguala-se
Referências
- Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, traduzido para o inglês como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
- K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, capítulos 20 e 21
- Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republicado em traduçã para o inglês como Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
- Abramowitz and Stegun; Handbook of Mathematical Functions, capítulo 18
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
- «Weierstrass Elliptic Function» (em inglês). - Funções elípticas de Weierstrass no MathWorld -
- «Funções elípticas, página de análise complexa de Hans Lundmark»