Ideal (teoria dos anéis)

Em teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal é um subconjunto especial de um anel. O conceito generaliza de uma maneira apropriada algumas importantes propriedades dos inteiros como "número par" e "múltiplo de 3".

Por exemplo, em anéis estuda-se ideais primos ao invés de números primos, define-se ideais coprimos como generalizações dos números coprimos e pode-se provar um teorema do resto chinês para ideais. Nos domínios de Dedekind, importante classe de anéis para a teoria dos números, pode-se inclusive imitar-se uma versão do teorema fundamental da aritmética. Nesses anéis, todo ideal não-zero pode ser escrito como um produto único de ideais primos.

Um ideal pode ser usado para a construção de um anel quociente da mesma forma que um subgrupo normal pode ser usado para a construção de um grupo quociente.

História

Ideais fora propostos primeiramente por Dedekind em 1876 na terceira edição do seu livro Vorlesungen über Zahlentheorie (Seminários em Teoria dos Números). Eles foram uma generalização para o conceito de número ideal desenvolvido por Ernst Kummer. Mais tarde o conceito foi expandido por David Hilbert e especialmente Emmy Noether.

Definições

Seja R um anel com (R, +) sendo o grupo abeliano do anel, um subconjunto I de R é chamado ideal à direita se

• (I, +) é um subgrupo de (R, +)
• xr está em I para todo x em I e todo r em R

e ideal à esquerda se

• (I, +) é um subgrupo de (R, +)
• rx está em I para todo x em I e todo r em R

Os ideais à esquerda em R são exatamente os ideais à direita no anel oposto R^op e vice-versa. Quando R é um anel comutativo as noções de ideal à esquerda e à direita coincidem e o ideal bilateral é chamado simplesmente de ideal.

Os subconjuntos {0} e R de um anel R são ideais. Esses são denominados ideais triviais de R.

Chama-se I de ideal próprio se este é um conjunto próprio de R, ou seja, I não é idêntico ao R.

A interseção de uma coleção (não-vazia) de ideais é um ideal.

Se A é um conjunto qualquer de R, então define-se o ideal gerado por A como o menor ideal de R contendo A. Ele está bem definido como a interseção (não vazia, porque $A\subset R\,$) de todos ideais que contém A. Este é denotado por <A> ou (A) e é compreendido com todas as somas finitas da forma

r₁a₁ + ··· + r_na_n

com cada r_i em R e cada a_i em A. O ideal é dito ser finitamente gerado se o conjunto gerador A é finito, ou seja, pode-se escrever todo elemento x de I como

$x=\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}$

onde r_k é um elemento de R e A={a_k : k = 1, ..., n} é um conjunto finito fixo de R.

Exemplos e contra exemplos

• Os inteiros pares formam um ideal no anel Z dos inteiros, sendo denotado por 2Z. Isto é porque a soma de inteiros pares é um inteiro par, e o produto de um inteiro por por qualquer outro inteiro é par.
• Os números naturais não formam um ideal no anel Z dos inteiros. A soma e o produto de números naturais é um número natural, mas o produto de um número natural (não-nulo) por um inteiro negativo não é um número natural.
• No anel Z dos inteiros cada ideal pode ser gerado por apenas um número (assim Z é um domínio principal) e o ideal determina o número salvo o sinal. Por isso os conceitos de "ideal" e de "número" são quase idênticos em Z (e em qualquer domínio principal).
• O conjunto dos polinômios com coeficientes reais que são divisíveis pelo polinômio x² + 1 é um ideal no anel de todos os polinômios.
• O conjunto de todas as matrizes nxn cuja última coluna é zero forma um ideal à esquerda no anel de todas as matrizes nxn e o conjunto de todas as matrizes nxn cuja última linha é zero forma um ideal à direita no mesmo.
• Todas as funções contínuas f tal que f(1) = 0 formam um ideal no anel F(R) de todas as funções contínuas f de R para R.
• {0} e R são ideais em todos os anéis R. Se R é comutativo, então R é um corpo se e somente se este tem apenas dois ideais: {0} e R.

Tipos de ideais

Ideais são importantes porque eles aparecem como núcleos dos homomorfismos de anéis e permitem a definição de anel quociente. São vários os tipos de ideais estudados. Isso se deve a que cada um gera diferentes tipos de anéis quocientes.

• Ideal maximal: Um ideal próprio I é chamado um ideal maximal se não existe um outro ideal próprio J tal que I é um subconjunto de J. O anel quociente de um ideal maximal é um corpo.
• Ideal Minimal: Um ideal não nulo l é chamado um ideal minimal se não existe um outro ideal não nulo J tal que J é um subconjunto de I.
• Ideal primo: Um ideal próprio I é chamado um ideal primo se para qualquer a e b em R e ab em I, então ao menos um (a ou b) está em I. O anel quociente de um ideal primo é um domínio de integridade.
• Ideal primário: Um ideal I é chamado um ideal primário se para qualquer a e b em R e ab em I, então ao menos um (a ou bⁿ) está em I, para algum número natural n. Todo ideal primo é primário.
• Ideal principal: um ideal gerado por um elemento.
• Ideal primitivo: é o anulador de um módulo simples à esquerda. Um ideal primitivo à direita é definido similarmente. Note-se que, apesar do nome, ideais primitivos à direita e à esquerda são sempre ideais bilaterais. Anéis quocientes construídos com ideais primitivos são anéis primitivos.

Propriedades

• Um ideal é próprio se e somente se este não contém 1.
• Os ideais próprios podem ser parcialmente ordenados por meio de inclusão em um conjunto. O teorema de Krull diz que, em um anel comutativo com elemento identidade (em que $0\neq 1\,$), todo ideal próprio está contido em um ideal maximal. Este resultado depende do Lema de Zorn.
• Por causa do zero pertencer a ele, um ideal sempre é um conjunto não-vazio.
• O anel R pode ser considerado como um módulo à esquerda de si mesmo e os ideais de R então como submódulos deste módulo. Similarmente, os ideais à direita são submódulos de R como um módulos à direita de si mesmo e os ideais bilaterais são submódulos de R como um bimódulo sobre si mesmo. Se R é comutativo, então todos os três tipos de módulos são os mesmos assim como os três tipos de ideais são os mesmos.

Operações com ideais

Para os ideais I e J de $\mathbb {R}$, a soma e o produto são definidos como

$I+J:=\{a+b\,|\,a\in I{\mbox{ e }}b\in J\}$

e

$IJ:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\,|\,a_{i}\in I{\mbox{ e }}b_{i}\in J,i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ para }}n=1,2,\dots \},$

ou seja, o produto de dois ideais I e J é definido como o ideal IJ gerado por todos os produtos da forma ab com a em I e b em J. o Produto IJ está contido na intersecção de I e J.

A soma e a intersecção de ideais também é um ideal; com essas duas operações como supremo e ínfimo, o conjunto de todos os ideais de um anel comutativo forma um reticulado. Além disso, a união de dois ideais é um subconjunto da soma desses ideais (para um elemento a dentro de um ideal pode-se escrevê-lo como a + 0 ou 0 + a). No entanto, a união de dois ideais não é necessariamente um ideal.