Teorema da decomposição de Helmholtz

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No cálculo vetorial, o teorema de Helmholtz afirma que se o divergente e o rotacional de um campo vetorial são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial existe e é único, contanto que tanto o campo quanto seu divergente e rotacional caiam a zero suficientemente rápido no infinito. O teorema tem aplicações em muitas áreas da física e da matemática, como eletromagnetismo, cromodinâmica quântica e teoria de análise vetorial. Seu nome é dado em homenagem a Hermann von Helmholtz, médico e físico alemão com relevantes contribuições para a física, fisiologia, psicologia e filosofia.[1]

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja um campo vetorial e definamos e .

Se as seguintes condições são satisfeitas:

 e 

então existe e é definido unicamente por


com

  e 

onde é um elemento infinitesimal de volume e e são vetores genéricos no espaço tridimensional.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Sejam , , e as funções definidas acima. Nosso primeiro objetivo é mostrar que é possível escrever , e que se escrito assim, de fato e . Em seguida, vamos mostrar que sob as condições e , é único para determinados e .

Existência de U(r) e W(r)[editar | editar código-fonte]

A primeira questão é se e são bem definidos, i.e., se as integrais de convergem. Temos, para :

Essa integral converge se, e somente se, cair a zero no infinito mais rápido que . Essa condição é garantida por . O mesmo argumento se aplica à integral de . Logo, e existem.

Divergência de F(r)[editar | editar código-fonte]

Usando o fato de que o divergente de um rotacional é identicamente nulo[2] , qualquer que seja a função sobre a qual a operação é aplicada, temos:

Como é um operador diferencial em relação a e a integral é em relação a , podemos fazer

onde usamos a conhecida propriedade[3] da função Delta de Dirac:

Logo, como queríamos demonstrar,

Rotacional de F(r)[editar | editar código-fonte]

Uma vez que o rotacional de um gradiente é identicamente nulo[2] , qualquer que seja a função sobre a qual o operador atua, e usando a identidade [2] , temos:

Como é um operador diferencial em relação a e a integral é em relação a , o primeiro termo do lado direito da equação acima fica:

Para calcular o segundo termo vamos usar, adicionalmente, integração por partes de campos vetoriais e o fato de que uma derivada de em relação a difere de uma derivada em relação a por um fator :

Mas, como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, . Ao mesmo tempo, se escolhermos uma superfície cujos pontos estão todos suficientemente longe da origem, i.e., se fizermos na integral de superfície da equação acima, teremos

Como as condições garantem que vai a zero mais rápido que , o integrando, que é constante ao longo da integração se escolhermos como superfície de integração uma esfera, vai a zero. Logo, a integral de superfície também vai a zero, o que dá

Assim, ficamos com , como queríamos demonstrar.

Unicidade de F(r)[editar | editar código-fonte]

Até agora demonstramos que é possível escrever como o rotacional de um campo vetorial menos o gradiente de um campo escalar, como na expressão . Mas será que essa é a única forma de escrever ? Em outras palavras, uma vez determinados o rotacional e o divergente de um campo vetorial , ele está unicamente fixado por ? A princípio, poderíamos adicionar à um função cujo rotacional e divergente fossem identicamente nulos. Nada mudaria no que foi argumentado até agora, mas certamente não seria único. Haveria tantas expressões diferentes para quanto campos com rotacional e divergente nulo existissem. De fato, existem campos com rotacional e divergente nulo, mas nenhum deles consegue satisfazer a condição :

.

Ou seja, nenhum campo irrotacional e sem divergência vai a zero no infinito mais rápido que [4] .

Uma estratégia para mostrar formalmente a unicidade de é supor que exista uma outra função , com o mesmo divergente e rotacional de , e mostrar que

Temos, então: e Logo,

.

Da mesma maneira,

Pela última equação podemos definir e, substituindo na penúltima,

Para duas funções escalares e diferenciáveis, há a identidade . Utilizando-a no teorema de Gauss, obtemos:

Se fizermos , ficamos com

A primeira integral é nula, pois A integral de área, lado direito da equação, é nula pelas condições . Logo, resta:

.

Como a igualdade vale qualquer que seja o volume escolhido, e o produto nunca é negativo, concluímos que Desse modo, como queríamos demonstrar:

E fica provado que, uma vez determinado o rotacional e o divergente de um campo vetorial , e sob as condições e , este existe e é dado pela expressão de forma única.[5]

Funções potenciais[4] [editar | editar código-fonte]

O conceito de potencial é útil em muitas situações, em física[6] . O Teorema de Helmholtz tem alguns corolários extremamente importantes.

Campos vetoriais irrotacionais[editar | editar código-fonte]

Se em todo o espaço, e sabendo que o rotacional do gradiente é identicamente nulo, temos:

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o gradiente de um campo escalar:

Chamamos a função escalar de potencial escalar.

Pelo teorema de Stokes, Logo, uma integral de linha de um campo irrotacional num circuito fechado é identicamente nula. Isso implica qualquer integral de linha que comece e termine no mesmo ponto ser independente do caminho, pois se uma integral começa em e termina em , e uma outra integral começa em e termina em , a soma das duas dá uma integral de linha num caminho fechado, que é identicamente nula. Logo:

Ou seja, a integral de linha é independente do caminho.

Campos vetoriais sem divergência[editar | editar código-fonte]

Se em todo o espaço, e sabendo que o divergente do rotacional é identicamente nulo, temos:

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o rotacional de um campo vetorial: .

Chamamos a função vetorial de potencial vetor.

Pelo teorema de Gauss, Logo, no fluxo de um campo sem divergência numa superfície fechada é identicamente nulo.

Podemos mostrar, também, que qualquer integral de superfície, cuja superfície de integração esteja apoiada num mesmo contorno C, tem o mesmo valor. Ou seja, uma integral de superfície de um campo sem divergência não depende da superfície, para um dado contorno de apoio.

Aplicação em eletromagnetismo[editar | editar código-fonte]

A informação de que um campo vetorial está unicamente fixado pelo seu divergente e rotacional é de fundamental importância para a teoria eletromagnética. Toda a informação física relevante dos fenômenos eletromagnéticos é tirada de quatro equações diferenciais, as Equações de Maxwell, que envolvem precisamente o divergente e o rotacional dos campos vetoriais elétrico e magnético. São elas:

(Lei de Gauss)


(Lei de Faraday)


(Ausência de monopólos magnéticos)


(Lei de Ampère-Maxwell)

Além disso, o conceito desenvolvido acima de potencial escalar e potencial vetor simplifica a solução de muitos problemas físicos.[4]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Cahan, D., Hermann von Helmholtz and the Foundations of Nineteenth-Century Science, 1a ed. California: University of California Press (1993).
  2. a b c Davis, H. F. e Snider, A. D., Introduction to Vector Analysis, 7a ed. Boston: Allyn & Bacon (1995).
  3. Boas, M.L., Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3a ed. Hoboken: Wiley (2005).
  4. a b c Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, 3a ed. New Jersey: Benjamin Cummings (1999).
  5. Arfken, G. B., Weber H. J. e Harris F. E., Mathematical Methods for Physicists, 6a ed. California: Academic Press (2005).
  6. Marion, J.B. e Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 5a ed. California: Brooks Cole (2003).