Equações de Friedmann

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As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922 [1] a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia (\rho) e uma pressão (p) dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.[2]

Pressupostos[editar | editar código-fonte]

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

 ds^2 = {a(t)}^2 ds_3^2 - dt^2

onde \! ds_3^2 é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro \! k discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", \! a(t) .

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

Equações[editar | editar código-fonte]

As equações são:

H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda}{3} - K\frac{c^2}{a^2}
3\frac{\ddot{a}}{a} =  \Lambda - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})

onde \Lambda é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, G é a constante gravitacional, c é a velocidade da luz, a é o fator de escala do Universo e K é a curvatura gaussiana quando a = 1 (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e R é o raio de curvatura (R_0 no momento atual), então a = R/R_0. Geralmente, K \over a^2 é a curvatura gaussiana. Se K é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se K é zero, o Universo é plano e se K é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que \rho e p são função de a. O parâmetro de Hubble, H, é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{8 \pi G} p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}

para obter:

H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - K\frac{c^2}{a^2}
3\frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})

O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidade[editar | editar código-fonte]

O parâmetro de densidade, \Omega, se define como a relação da densidade atual (ou observada) \rho relacionado à densidade crítica \rho_c do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que \Lambda é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura K igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}

E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho

Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que \rho_c é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se \Omega é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se \Omega é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para \Omega no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de \Omega devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura K é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_{\Lambda} - K c^2 a^{-2}

Onde, \Omega_R é a densidade de radiação atual, \Omega_M é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e \Omega_\Lambda é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescalada[editar | editar código-fonte]

Estabelecendo a=\tilde{a}a_0, \rho_c=3H_0^2/8\pi G, \rho=\rho_c \Omega, t=\tilde{t}/H_0, \Omega_c = -K/H_0^2 a_0^2 onde a_0 y H_0 são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

\frac{1}{2}\left( \frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)^2 + U_{\rm eff}(\tilde{a})=\frac{1}{2}\Omega_c

onde U_{eff}(\tilde{a}) = \Omega\tilde{a}^2/2. Para qualquer forma do potencial efetivo U_{eff}(\tilde{a}), há uma equação de estado p = p(\rho) que a produzirá.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Tradução para o inglês em: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)
  2. Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. 21: 326–332. DOI:10.1007/BF01328280. (em alemão) (English translation in: Friedmann, A. (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31: 2001–2008. DOI:10.1023/A:1026755309811.)