Função zeta de Dedekind

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Em matemática, a função zeta de Dedekind é uma série de Dirichlet definida para qualquer corpo numérico algébrico K, e notado \zeta_K (s) onde s é uma variável complexa. É a soma infinita

\zeta_K (s) = \sum_{I \subseteq O_K} (N_{K/\mathbb{Q}} (I))^{-s}

onde I situa-se entre os ideais não zero do anel de inteiros O_K de K. Aqui N_{K/\mathbb{Q}} (I) = [O_K : I] denota a norma de I (ao corpo racional \mathbb{Q}). É igual à cardinalidade de O_K / I, em outras palavras, o número de classes residuais de módulo I. Esta soma converge absolutamente para todos os números complexos s com parte real Re(s) > 1. No caso  K = \mathbb{Q} esta definição reduz-se à função zeta de Riemann.

As propriedades de \zeta_K(s) como uma função meromorfa leva a ser de considerável significância em teoria algébrica dos números. Ela tem um produto de Euler, o qual é um produto sobre todos os ideais primos P de O_K

\zeta_K (s) = \prod_{P \subseteq O_K} \frac{1}{1 - (N_{K/\mathbb{Q}}(P))^{-s}}.

Esta é a expressão em termos analíticos da fatoração em primos única dos ideais I.

É conhecido (provado primeiramente de maneira geral por Erich Hecke) que \zeta_K(s) tem uma extensão analítica a todo o plano complexo como uma função meromórfica, tendo um polo simples somente em s = 1. O resíduo no polo é uma grandeza importante, envolvendo invariantes do grupo unidade e grupo de classe de K; detalhes estão na fórmula de classe numérica. Existe uma equação funcional para a função zeta de Dedekind, relacionando seus valores em s e 1−s.

Para o caso no qual K é uma extensão abeliana de Q, sua função zeta de Dedekind pode ser escrita como o produto de funções L de Dirichlet. Por exemplo, quando K é um corpo quadrático isto mostra que a razão

\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_{\mathbb{Q}}(s)}

é uma função L L(s,χ); onde \chi é um símbolo de Jacobi como caráter de Dirichlet. Que a função zeta de um corpo quadrático é um produto da função zeta de Riemann e uma certa função L de Dirichlet é uma formulação analítica da lei de Gauss da reciprocidade quadrática.

Em geral se K é uma extensão de Galois de Q com grupo de Galois G, sua função zeta de Dedekind tem uma fatorização comparável em termos de funções L de Artin. Estas são ligadas a representações lineares de G.

Referências gerais[editar | editar código-fonte]