Propagador

Em mecânica quântica, um propagador é uma função ou distribuição que descreve a amplitude da probabilidade de uma partícula se mover de uma posição para outra. Tecnicamente, é a função de Green para a equação do movimento.

Definição

Partícula não-relativística

O propagador $K(x,t;x',t')$ é uma função ou distribuição que verifica a seguinte equação:

$\left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')$ .

Aqui $H$ é o hamiltoniano e $\delta$ é a distribuição dirac.

Por exemplo, considere uma partícula não relativística livre. O propagador, portanto, verifica:

$\left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')$ .

Para resolver isso, converta em momento- e espaço de frequência :

$(\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m)K(\mathbf {p} ,\omega )=1$ .

Seguindo-se que:

$K(\mathbf {p} ,\omega )={\frac {1}{\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}$ .

Converta de volta para posição e espaço-tempo:

$K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t')))K(\mathbf {p} ,\omega )$ .

A integral é ambígua, porque tem um pólo em

$\omega =\hbar p^{2}/2m$ .

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal, mas existem dois sinais possíveis (Por isso o propagador não é único). Ao adicionar um infinitesimal pode-se calcular:

$K_{\pm }(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$

$=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t'))){\frac {1}{\hbar \omega \pm \mathrm {i} \epsilon -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}$

$=\mp {\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\theta (\pm t\mp t')\left({\frac {m}{2\pi \mathrm {i} \hbar (t-t')}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {\mathrm {i} m}{2\hbar (t-t')}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')^{2}\right)$ ,

Onde:

$\theta (x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x>0\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}$

Representa a função de Heaviside. A função $K_{+}$ chamada de propagador passado (retarded em inglês), porque $K_{+}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$ é diferente de zero apenas se $t>t'$. Enquanto isso, a função $K_{-}$ é chamada de propagador futuro (advanced em inglês), porque $K_{-}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$ é diferente de zero apenas se $t<t'$.

Partícula relativística

Usamos uma convenção de sinalização $+---$ para a métrica que, $x\cdot y=x^{0}y^{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$.

Uma partícula escalar relativística verifica a equação de Klein-Gordon . Daí o propagador $K(x,y)$ de uma partícula escalar relativística é definido como a função de Green da equação de Klein-Gordon. Eis:

$(\partial ^{2}+m^{2})K(x,y)=-\delta (x-y)$ .

Para resolver, converte-se em momento linear:

$(p^{2}-m^{2})K(p)=1$ .

Então:

$K(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}$ .

Converte-se de volta para o espaço de posição:

$K(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}$ .

A integral é ambígua porque tem dois pólos em:

$p^{0}=\pm (\mathbf {p} ^{2}+m^{2})$ .

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal. De acordo com a teoria da integral curvilínea, podemos subir ou descer em cada pólo. Portanto, existem quatro métodos diferentes para eliminar a ambiguidade da integral; o propagador não é único. Se subirmos pelos dois pólos, o passado (em inglês retarded) será encontrado:

$K_{\mathrm {R} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}+\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}>y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}},\end{cases}}$

Onde $\operatorname {J} _{1}$ representa a função de Bessel de primeiro tipo e $s=(x-y)^{2}$. Se descermos em ambos os pólos, o propagador futuro (advanced) será encontrado:

$K_{\mathrm {A} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}-\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}<y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}}.\end{cases}}$

Se descermos pelo pólo esquerdo (em $p^{0}=-{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$ e para cima através do pólo direito (em $p^{0}=+{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$), O propagador de Feynman será encontrado:

$K_{\mathrm {F} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\-\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}$

Onde $\operatorname {H} _{1}^{(1)}$ representa a função de Hankel de primeiro tipo e $\operatorname {K} _{1}$ significa a função modificada de Bessel de segundo tipo. Se subirmos pelo pólo esquerdo e descermos pelo pólo direito, o propagador de Dyson encontrar-se-á:

$K_{\mathrm {D} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}$

$={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(2)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}$

Onde $\operatorname {H} _{1}^{(2)}$ representa a função de Hankel do segundo tipo .

Os quatro propagadores verificam as seguintes equações.

$K_{\mathrm {R} }+K_{\mathrm {A} }=K_{\mathrm {F} }+K_{\mathrm {D} }$

$K_{\mathrm {R} }(x-y)=K_{\mathrm {A} }(y-x)$

$K_{\mathrm {F} }(x-y)=K_{\mathrm {F} }(y-x)=K_{\mathrm {D} }(x-y)^{*}$

$K_{\mathrm {D} }(x-y)=K_{\mathrm {D} }(y-x)=K_{\mathrm {F} }(x-y)^{*}$ .

Além disso, os propagadores exprimem-se com valores esperados vazios de operadores de campo:

$K_{\mathrm {R} }(x-y)=-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle$

$K_{\mathrm {A} }(x-y)=\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle$

$K_{\mathrm {F} }(x-y)=-\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle -\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle$

$K_{\mathrm {D} }(x-y)=\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}^{\dagger }|0\rangle =\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle +\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle$ .

Partícula com rotação

Para uma partícula dirac $\psi$ seguindo a equação de dirac:

$(\gamma \cdot \partial +m)\psi =0$ ,

o propagador é definido semelhantemente:

$(\gamma \cdot \partial +m)K(x-y)=\delta (x-y)$ .

No momento de espaço:

$K_{\mathrm {F} }(p)={\frac {1}{\gamma \cdot p-m+\mathrm {i} \epsilon }}={\frac {\gamma \cdot p+m}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}$

para o propagador de Feynman, etc.

Para uma partícula vetoral$A$ de massa zero (por exemplo, o fóton), existem vários ‘gauges’ possíveis. Um medidor simples é o medidor de Lorenz $\partial \cdot A=0$. Portanto, a partícula segue as equações de Maxwell com um termo gaussiano:

$\partial ^{2}A_{\mu }=0$ .

O propagador é definido de forma semelhante:

$\partial ^{2}K_{\mu \nu }(x-y)=\delta (x-y)$ .

No momento linear do espaço o propagador (de Feynman, etc.) é:

$K_{\mathrm {F} \mu \nu }(p)={\frac {-g_{\mu \nu }}{p^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}$ .

Referências

• Bjorken, JD, Drell, SD, Relativistic Quantum Fields (Apêndice C.), New York: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0 .
• NN Bogoliubov, DV Shirkov, Introdução à teoria dos campos quantizados, Wiley-Interscience, ISBN 0470086130 (pp. 136 - 156)
• DeWitt, Cécile, DeWitt, Bryce, editores, Relativity, Groups and Topology, Glasgow: Blackie and Son Ltd. ISBN 0444868585 (pp. 615 - 624)
• Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles, Nova York: John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-60386-4
• Halliwell, JJ, Orwitz, M. Origem da soma das histórias das leis de composição da mecânica quântica relativística e cosmologia quântica, arXiv: gr-qc / 9211004
• Kerson Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals . Nova York: J. Wiley & Sons, 1998. ISBN 0-471-14120-8
• Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory, New York: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
• Pokorski, Stefan, Gauge Field Theories, Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-36846-4
• Schulman, Larry S., Techniques and Applications of Path Integration, Nova York: John Wiley & Sons, 1981. ISBN 0471764507
• Griffith, D, Introdução à Mecânica Quântica .