Triângulo retângulo

Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado $c$ na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado $a$ pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo ${\widehat {B}}$ e oposto ao ângulo ${\widehat {A}}$, enquanto o lado $b$ é o lado adjacente ao ângulo ${\widehat {A}}$ e oposto ao ângulo ${\widehat {B}}$.

Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.

Principais propriedades

Área

Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área $T$ é

$T={\tfrac {1}{2}}ab$

onde $a$ e $b$ são os catetos do triângulo.

Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa ${\overline {AB}}$ no ponto $P$, denotando o semiperímetro ${(a+b+c) \over 2}$ como $s$, teremos $PA=s-a$ e $PB=s-b$, e a área será dada por

$T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).$

Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.

Alturas

Altura de um triângulo retângulo

Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:

• A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.
• Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.

Em equações,

$\displaystyle f^{2}=de$ (isso às vezes é conhecido como o teorema da média geométrica)

$\displaystyle b^{2}=ce$

$\displaystyle a^{2}=cd$

onde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ são mostrados no diagrama. Portanto

$f={\frac {ab}{c}}$

Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}$

A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.

Teorema de Pitágoras

Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema pitagórico afirma que:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).

Isso pode ser afirmado na forma de equação como

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

onde $c$ é o comprimento da hipotenusa e $a$ e $b$ são os comprimentos dos dois lados restantes.

Os triplos pitagóricos são valores inteiros de $a$, $b$, $c$ que satisfazem esta equação.

Inraio e circunraio

Ilustração do teorema pitagórico

O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$ é

$r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}$

O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,

$R={\frac {c}{2}}$

Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:

$R+r={\frac {a+b}{2}}$

Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como

$\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}$

Caracterizações

Um triângulo $\Delta ABC$ com lados $a\leq b<c$, semiperímetro $s$, área $T$, altura $h$ oposta ao lado mais longo, circunraio $R$, inraio $r$, exraio $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ (tangente a $a$, $b$, $c$ respectivamente) e medianas $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$ é um triângulo retângulo se, e somente se, alguma das afirmações na as seis categorias a seguir são verdadeiras. Todos eles também são propriedades de um triângulo retângulo, já que caracterizações são equivalências.

Lados e semiperímetro

• $\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Teorema de Pitágoras}})$
• $\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
• $\displaystyle s=2R+r.$
• $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$

Ângulos

• A e B são complementares.
• $\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0$
• $\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2$
• $\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1$
• $\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}$

Área

• $\displaystyle T={\frac {ab}{2}}$
• $\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
• $\displaystyle T=r(2R+r)$
• $T=PA\cdot PB$, onde $P$ é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo ${\overline {AB}}$.

Inraio e exraio

• $\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$
• $\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
• $\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2$
• $\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
• $\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.$

Altura e medianas

• $\displaystyle h={\frac {ab}{c}}$
• $\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}$
• O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio.
• A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a média geométrica dos segmentos de reta em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o teorema da altura do triângulo retângulo.

Círculo inscrito e circunscrito

• O triângulo pode ser inscrito em um semicírculo, com um lado coincidindo com a totalidade do diâmetro (Teorema de Tales).
• O circuncentro é o ponto médio do lado mais longo.
• O lado mais longo é o diâmetro do círculo circunscrito $\displaystyle (c=2R).$
• O circuncírculo é tangente ao círculo de nove pontos.
• O ortocentro fica no circuncírculo.
• A distância entre o incentro e o ortocentro é igual a ${\sqrt {2}}r$.

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. «Right Triangle». MathWorld (em inglês) 
• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. [S.l.]: Ginn & Co. 

Ligações externas

• Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo
• Calculando a área do triângulo retângulo