Ação de Polyakov

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Em física, a ação de Polyakov é a ação bidimensional de uma teoria conforme de campos (CFT en inglés) descrevendo a variedade bidimensional que descreve a incorporação de uma corda no espaço-tempo na teoria das cordas.

Uma parte da superfície de um universo de corda aberta

Esta ação foi introduzida por Stanley Deser e Bruno Zumino e, independentemente, por L.Brink, Vecchia P.Di e PSHowe, e passou a ser associada com Alexander Polyakov depois que ele fez uso dela na quantificação da corda.

A ação lê

${\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )$

onde $T$ é a tensão da corda, $g_{\mu \nu }$ é a métrica da variedade alvo, $h_{ab}$ é a folha de universo métrica e $h$ é o determinante de ${ab}$. A assinatura métrica é escolhido de tal modo que direções similares ao tempo são + e direções como espaço são -. A coordenada de folha de universo tipo espacial é chamada $\sigma$ ao passo que a coordenada de folha de universo tipo tempo é chamada $\tau$. Esta variedade é também conhecida como modelo σ não-linear.

A ação de Polyakov deve ser completada pela ação de Liouville na teoria de campo de Liouville para descrever adequadamente as flutuações de cordas.

Relação com a ação Nambu-Goto

Escrevendo a equação de Euler-Lagrange para o tensor métrico $h^{ab}$ se obtém que:

${\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0$

Sabendo também que:

$\delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}$

Pode-se escrever o derivativo variacional da ação:

${\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)$

onde $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ o que leva a:

$T_{ab}=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0$

$G_{ab}={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}$

$G=\mathrm {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}$

Se o tensor métrico auxiliar da folha de universo ${\sqrt {-h}}$ é calculado a partir das equações de movimento:

${\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}$

e substituído de volta à ação, ele se torna a ação Nambu-Goto:

$S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}$

No entanto, a ação de Polyakov é mais facilmente quantificada porque é linear.