Teoria dos twistores

Na física teórica, a teoria dos twistores foi originalmente proposta como uma nova estrutura geométrica para a física que visa unificar a relatividade geral e a mecânica quântica. Em termos gerais, a teoria dos twistores é uma estrutura para codificar informações físicas no espaço-tempo como dados geométricos em um espaço projetivo complexo, conhecido como espaço twistor. Ela foi proposta por Roger Penrose em 1967 como um caminho possível para a gravidade quântica e evoluiu para um ramo da física teórica e matemática.

Penrose propôs que o espaço twistor deveria ser a arena básica para a física da qual o próprio espaço-tempo deveria emergir. Isso leva a um conjunto de ferramentas matemáticas que têm aplicações em geometria diferencial e integral, equações diferenciais não lineares e teoria da representação e em física para relatividade geral e teoria quântica de campos, em particular para amplitudes de espalhamento.

Correspondência de Twistores

Denote o espaço Minkowski por $M$, com coordenadas $x^{a}=(t,x,y,z)$ e métrica Lorentziana $\eta _{ab}$ signature $(1,3)$. Introduza índices de espinor de 2 componentes $A=0,1;\;A'=0',1',$ e defina

$x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.$

O espaço twistor não projetivo $\mathbb {T}$ é um espaço vetorial complexo quadridimensional com coordenadas denotadas por $Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)$ onde $\omega ^{A}$ e $\pi _{A'}$ são dois espinores de Weyl constantes. A forma hermitiana pode ser expressa definindo uma conjugação complexa de $\mathbb {T}$ para seu dual $\mathbb {T} ^{*}$ by ${\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)$ de modo que a forma hermitiana pode ser expressa como

$Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.$

Isso junto com a forma de volume holomórfico, $\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }$ é invariante sob o grupo SU (2,2), uma cobertura quádrupla do grupo conformado C (1,3) do espaço-tempo de Minkowski compactado.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

$\omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.$

A relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente trabalha-se no espaço do twistor projetivo $\mathbb {PT} ,$ que é isomórfico como uma variedade complexa para $\mathbb {CP} ^{3}$. Um ponto $x\in M$assim, determina uma linha $\mathbb {CP} ^{1}$no $\mathbb {PT}$ parametrizado por $\pi _{A'}.$ Um twistor $Z^{\alpha }$ é mais fácil de entender no espaço-tempo para valores complexos das coordenadas, onde define um plano duplo totalmente nulo que é autodual. Seja $x$ real, então se$Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }$ desaparece, então $x$ encontra-se em um raio de luz, enquanto se $Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }$ não desaparece, não há soluções e, de fato, $Z^{\alpha }$ corresponde a uma partícula sem massa com spin que não está localizada no espaço-tempo real.

Supertwistores

Supertwistores são uma extensão supersimétrica de twistors introduzida por Alan Ferber em 1978. O espaço do twistor não projetivo é estendido por coordenadas fermiônicas onde ${\mathcal {N}}$ é o número de supersimetrias de modo que um twistor agora é dado por $\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}$ com $\eta ^{i}$ anticommutação. O grupo superconformal $SU(2,2|{\mathcal {N}})$ age naturalmente neste espaço e uma versão supersimétrica da transformada de Penrose leva classes de cohomologia no espaço do supertwistor para multipletos supersimétricos sem massa no super espaço de Minkowski. O caso ${\mathcal {N}}=4$ fornece a meta de corda twistor original de Penrose e o caso ${\mathcal {N}}=8$ é aquele para a generalização da supergravidade de Skinner.

Leitura adicional

• Atiyah, M., Dunajski, M., and Mason, L. J. (2017). "Twistor theory at fifty: from contour integrals to twistor strings". Proc. R. Soc. A. 473 (2206): 20170530. doi:10.1098/rspa.2017.0530. ISSN 1364-5021.
• Baird, P., "An Introduction to Twistors."
• Huggett, S. and Tod, K. P. (1994). An Introduction to Twistor Theory, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521456890. OCLC 831625586.
• Hughston, L. P. (1979) Twistors and Particles. Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09244-5.
• Hughston, L. P. and Ward, R. S., eds (1979) Advances in Twistor Theory. Pitman. ISBN 0-273-08448-8.
• Mason, L. J. and Hughston, L. P., eds (1990) Further Advances in Twistor Theory, Volume I: The Penrose Transform and its Applications. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00466-7.
• Mason, L. J., Hughston, L. P., and Kobak, P. K., eds (1995) Further Advances in Twistor Theory, Volume II: Integrable Systems, Conformal Geometry, and Gravitation. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00465-9.
• Mason, L. J., Hughston, L. P., Kobak, P. K., and Pulverer, K., eds (2001) Further Advances in Twistor Theory, Volume III: Curved Twistor Spaces. Research Notes in Mathematics 424, Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-047-3.
• Penrose, Roger (1967), «Twistor Algebra», Journal of Mathematical Physics, 8 (2): 345–366, Bibcode:1967JMP.....8..345P, MR 0216828, doi:10.1063/1.1705200, arquivado do original em 12 de janeiro de 2013 
• Penrose, Roger (1968), «Twistor Quantisation and Curved Space-time», International Journal of Theoretical Physics, 1 (1): 61–99, Bibcode:1968IJTP....1...61P, doi:10.1007/BF00668831 
• Penrose, Roger (1969), «Solutions of the Zero‐Rest‐Mass Equations», Journal of Mathematical Physics, 10 (1): 38–39, Bibcode:1969JMP....10...38P, doi:10.1063/1.1664756, arquivado do original em 12 de janeiro de 2013 
• Penrose, Roger (1977), «The Twistor Programme», Reports on Mathematical Physics, 12 (1): 65–76, Bibcode:1977RpMP...12...65P, MR 0465032, doi:10.1016/0034-4877(77)90047-7 
• Penrose, Roger (1999) "The Central Programme of Twistor Theory," Chaos, Solitons and Fractals 10: 581–611.
• Witten, Edward (2004), «Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space», Communications in Mathematical Physics, 252 (1–3): 189–258, Bibcode:2004CMaPh.252..189W, arXiv:hep-th/0312171, doi:10.1007/s00220-004-1187-3