Conjectura de Agoh–Giuga

Problema de matemática em aberto:

Um número p é primo se e somente se
 $pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$, ou seja, se $\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$?

(mais problemas em aberto da matemática)

A Conjectura de Agoh-Giuga é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos e os números de Bernoulli. Seu nome é homenagem a Takashi Agoh e Giuseppe Giuga.

Conjectura

A conjectura afirma que, p é um número primo se e somente se

$pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$ 

Onde B_k é o k-ésimo número de Bernoulli.

Esta é a formulação atual da conjectura é de 1990, devido a Agoh. Uma formulação equivalente, feita por Giuga em 1950, afirma que p é um número primo se

$1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$

equação que também pode ser escrita da seguinte forma utilizando notação de somatório:

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.$

É fácil mostrar que p ser primo é condição suficiente para o lado esquerdo da equivalência ser satisfeito, uma vez que podemos utilizar o pequeno teorema de Fermat, que enuncia que, se p é primo,

$\alpha ^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

para $\alpha =1,2,\dots ,p-1$, e a equivalência segue como consequência direta, já que $p-1\equiv -1{\pmod {p}}.$

Status

A conjectura ainda não foi provada para um número n quando este não é primo (ou seja, quando n é composto). Apesar disso, já foi demonstrado que um número composton satisfaz a fórmula se e somente se este é um número de Carmichael e um número de Giuga, e se este de fato existir, tem pelo menos 13800 dígitos. Laerte Sorini, em um trabalho de 2001, mostrou que um possível contra-exemplo deve ser um número n maior que   10³⁶⁰⁶⁷.

Relações com o Teorema de Wilson

A conjectura de Agoh–Giuga guarda certas semelhanças com o Teorema de Wilson, que já foi provado como sendo verdadeiro.

O Teorema de Wilson nos diz que p é um número primo se e somente se

$(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}},$

onde pode ser reescrito usando a notação de produtório como:

$\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}.$

Para p primo ímpar, 

$\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}},$

enquanto para p=2 (o único primo par), temos que:

$\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$

Então, a veracidade da Conjectura de Agoh–Giuga combinada com o Teorema de Wilson nos fornece a seguinte afirmação: 

Um número p é primo se e somente se  

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$

e

$\prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$

Programa em Python

Vários tipos de programas podem ser feitos para testar a conjectura de Agoh-Giuga, sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que testa a conjectura para os números entre 1 e 500:

listnumbers = range(1,500)
for i in listnumbers:
    sum = 0
    value = 1
    while value <= i-1:
        sum+=value**(i-1)
        value+=1
        if ((sum%i)+1)%i == 0:
            print("%d é primo pela conjectura de Agoh-Giuga!"%(i))

Ver também

•  Conjectura de Oppermann
•  Número de Giuga
•  Número de Carmichael
•  Conjectura de Goldbach
•  Teorema de Wilson
• Pequeno teorema de Fermat
• Último teorema de Fermat