Equação de Schrödinger

Em Física, a Equação de Schrödinger, proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1925, descreve a evolução temporal do estado quântico de um sistema físico. Essa equação tem uma importância capital na teoria da mecânica quântica, e seu papel é similar ao da segunda Lei de Newton na Mecânica Clássica.

Pela formulação matemática da mecânica quântica, todo sistema é associado a um espaço de Hilbert complexo, tal que cada estado instantâneo do sistema é descrito por um vetor unitário nesse espaço. Este vetor de estados guarda as probabilidades para os resultados de todas as possíveis medições aplicadas ao sistema. Em geral, o estado de um sistema varia no tempo e o vetor de estados é uma função do tempo. A equação de Schrödinger provê uma descrição quantitativa da taxa de variação deste vetor.

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, num tempo t por |ψ(t)>. A equação de Schrödinger é:

$H(t)\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle$

Nas equações, i é o número imaginário, ħ é a constante de Planck dividida por 2π e o Hamiltoniano H(t) é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Uma maneira mais didática de observar a Equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: $E_{m}=E_{c}+V$

Equação do Oscilador harmônico: $\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\psi =0$

Relação de De Broglie: $\lambda ={\frac {h}{p}}$

Onde $\psi$ é a função de onda, $\lambda$ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que $\lambda ={\frac {h}{mv}}$, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

$\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi mv}{h}}\right)^{2}\psi =0\to \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {-4(\pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}\psi \to {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m^{2}}}\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=v^{2}\psi$

Rearranjando a equação de energia, temos que $v^{2}={\frac {2(E_{m}-V)}{m}}$, substituindo $v^{2}$ na equação anterior:

${\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m}}\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)\psi$ , definindo $\hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}$, temos:

${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi$

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

${\widehat {H}}\psi =E\psi$, em que ${\widehat {H}}\psi$ é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Ver também

• Mecânica Quântica
• Gato de Schrödinger
• Nobel de Física
• Constante de Elvis