Endomorfismo: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], um '''endomorfismo''' é um [[morfismo]] (ou [[homomorfismo]]) de um objeto matemático |
Em [[matemática]], um '''endomorfismo''' é um [[morfismo]] (ou [[homomorfismo]]) de um [[objeto matemático]] nele mesmo. Por exemplo, um endomorfismo de um [[espaço vetorial]] ''V'' é uma [[transformação linear]] {{nowrap|''f'': ''V'' → ''V''}}, e um endomorfismo de um [[Grupo (matemática)|grupo]] ''G'' é um [[homomorfismo de grupos]] {{nowrap|''f'': ''G'' → ''G''}}. Em geral, pode-se falar de endomorfismos em qualquer [[teoria das categorias|categoria]]. Na categoria dos [[conjunto]]s, endomorfismos são funções de um conjunto ''S'' nele mesmo. |
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Em qualquer categoria, a [[composição de funções|composição]] de dois endomorfismos quaisquer de ''X'' é novamente um endomorfismo de ''X''. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de ''X'' forma um [[monoide]], denotado End(''X'') (ou End<sub>''C''</sub>(''X'') para enfatizar a categoria ''C''). |
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Quaisquer dois endomorfismos de um [[grupo abeliano]] ''A'' podem ser adicionados conforme a regra {{nowrap|1=(''f'' + ''g'')(''a'') = ''f''(''a'') + ''g''(''a'')}}. Sob esta adição, os endomorfismos de um grupo abeliano formam um [[anel (matemática)|anel]] (o [[anel de endomorfismos]]). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de '''Z'''<sup>''n''</sup> é o anel de todas as matrizes {{nowrap|''n'' × ''n''}} com entradas inteiras. Os endomorfismos de um espaço vetorial ou [[Módulo (álgebra)|modulo]] também formam um anel, do mesmo modo que os endomorfismos de qualquer objeto em um categoria pré-aditiva. Os endomorfismos de um grupo não abeliano geram uma estrutura algebrica conhecida como um [[quase anel]]. Todo anel com unidade, é um anel de endomorfismos de seu modulo regular, e como tal é um subanel de um anel de endomorfismos de um grupo abeliano,<ref>Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.</ref> no entanto há anéis que não são um anel de endomorfismos de nenhum grupo abeliano. |
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Em qualquer [[categoria concreta]], especialmente em [[espaço vetorial|espaços vetoriais]], endomorfismos são aplicações de um conjunto nele mesmo, e podem ser interpretados como [[operação unária|operadores unários]] neste conjunto, [[Ação (matemática)|agindo]] nos elementos, e permitindo definir a noção de [[Ação (matemática)|órbita]]s de elementos, etc. |
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Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em questão ([[Topologia (matemática)|topologia]], [[Métrica (matemática)|métrica]], ...), tais operadores podem ter propriedades como [[Função contínua|continuidade]], [[Função limitada|ser limitada]] e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre [[teoria dos operadores]]. |
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Uma '''endofunção''' é uma [[Função (matemática)|função]] cujo [[Domínio (matemática)|domínio]] é igual ao seu [[contradomínio]]. Uma endofunção [[Homomorfismo|homomórfica]] é um endomorfismo. |
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Seja ''S'' como um conjunto arbitrário. Entre as endofunções de ''S'' encontramos [[permutação|permutações]] de ''S'' e funções constantes associando a cada <math>x\in S</math> um certo <math>c\in S.</math> Cada permutação de ''S'' tem o contradomínio igual ao seu domínio, e é [[Função bijectiva|bijetiva]] e inversível. Uma função constante em ''S'', se ''S'' tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetiva (e não é invertível). A função que associa a cada inteiro natural ''n'' o [[Parte inteira|piso]] de ''n''/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não é invertível. |
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Cada permutação de “S” tem o contradomínio igual ao domínio, e é [[Função bijectiva|bijetiva]] e irreversível. Uma função constante em “S”, se “S” tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetivo (e não invertível). A função associando para cada inteiro natural “n” o chão de “n”/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não invertível. |
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Endofunções finitas são equivalentes a [[Pseudofloresta|pseudoflorestas orientadas]]. Para conjuntos de tamanho ''n'', existem ''n''<sup>''n''<sup> endofunções no conjunto. |
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Um tipo particular de endofunções bijetivas são as [[Involução (matemática)|involuções]], isto é, as funções que coincidem com suas inversas. |
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* [[Endomorfismo adjunto]] |
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* [[Morfismo (teoria das categorias)]] |
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* [[Endomorfismo de Frobenius]] |
* [[Endomorfismo de Frobenius]] |
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== Ligações externas == |
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* {{springer|title=Endomorphism|id=p/e035600}} |
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* {{PlanetMath reference|id=7462|title=Endomorphism}} |
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Revisão das 14h46min de 11 de julho de 2015
Em matemática, um endomorfismo é um morfismo (ou homomorfismo) de um objeto matemático nele mesmo. Por exemplo, um endomorfismo de um espaço vetorial V é uma transformação linear f: V → V, e um endomorfismo de um grupo G é um homomorfismo de grupos f: G → G. Em geral, pode-se falar de endomorfismos em qualquer categoria. Na categoria dos conjuntos, endomorfismos são funções de um conjunto S nele mesmo.
Em qualquer categoria, a composição de dois endomorfismos quaisquer de X é novamente um endomorfismo de X. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de X forma um monoide, denotado End(X) (ou EndC(X) para enfatizar a categoria C).
Automorfismos
Uma endomorfismo inversível de X é chamado de automorfismo. O conjunto de todos os automorfismos é um subconjunto de End(X) com uma estrutura de grupo, chamado de grupo de automorfismos de X e denotado por Aut(X). No diagrama a seguir, as setas denotam implicação:
automorfismo | ⇒ | isomorfismo |
⇓ | ⇓ | |
endomorfismo | ⇒ | (homo)morfismo |
Anel de endomorfismos
Quaisquer dois endomorfismos de um grupo abeliano A podem ser adicionados conforme a regra (f + g)(a) = f(a) + g(a). Sob esta adição, os endomorfismos de um grupo abeliano formam um anel (o anel de endomorfismos). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de Zn é o anel de todas as matrizes n × n com entradas inteiras. Os endomorfismos de um espaço vetorial ou modulo também formam um anel, do mesmo modo que os endomorfismos de qualquer objeto em um categoria pré-aditiva. Os endomorfismos de um grupo não abeliano geram uma estrutura algebrica conhecida como um quase anel. Todo anel com unidade, é um anel de endomorfismos de seu modulo regular, e como tal é um subanel de um anel de endomorfismos de um grupo abeliano,[1] no entanto há anéis que não são um anel de endomorfismos de nenhum grupo abeliano.
Teoria dos operadores
Em qualquer categoria concreta, especialmente em espaços vetoriais, endomorfismos são aplicações de um conjunto nele mesmo, e podem ser interpretados como operadores unários neste conjunto, agindo nos elementos, e permitindo definir a noção de órbitas de elementos, etc. Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em questão (topologia, métrica, ...), tais operadores podem ter propriedades como continuidade, ser limitada e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre teoria dos operadores.
Endofunções
Uma endofunção é uma função cujo domínio é igual ao seu contradomínio. Uma endofunção homomórfica é um endomorfismo.
Seja S como um conjunto arbitrário. Entre as endofunções de S encontramos permutações de S e funções constantes associando a cada um certo Cada permutação de S tem o contradomínio igual ao seu domínio, e é bijetiva e inversível. Uma função constante em S, se S tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetiva (e não é invertível). A função que associa a cada inteiro natural n o piso de n/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não é invertível.
Endofunções finitas são equivalentes a pseudoflorestas orientadas. Para conjuntos de tamanho n, existem nn endofunções no conjunto.
Um tipo particular de endofunções bijetivas são as involuções, isto é, as funções que coincidem com suas inversas.
Notas
- ↑ Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.
Ver também
Ligações externas
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Endomorphism», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
- Endomorphism, PlanetMath.org.