Função quadrática

$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$, onde $a\neq 0\,\!$. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y.

A expressão $ax^{2}+bx+c$ na definição de uma função quadrática é um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, porque o maior expoente de $x$ é 2.

Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.

Origem da palavra

O adjetivo quadrática vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x² é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.

Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.

Raízes

Ver artigo principal: Equação quadrática

As duas raízes da equação quadrática $0=ax^{2}+bx+c\,\!$, onde $a\neq 0\,\!$ são

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.

• Dado $\Delta =b^{2}-4ac\,$
• Se $\Delta >0\,\!$, então existem duas raízes distintas uma vez que ${\sqrt {\Delta }}$ é um número real positivo.
• Se $\Delta =0\,\!$, então as duas raízes são iguais, uma vez que ${\sqrt {\Delta }}$ é igual a zero.
• Se $\Delta <0\,\!$, então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que ${\sqrt {\Delta }}$ é imaginário.

Efetuando $r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ e $r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ou vice versa, é possível fatorar $ax^{2}+bx+c\,\!$ como $a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$.

Formas da função quadrática

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

• $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
• $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ é chamada a forma fatorada, onde $r_{1}$ e $r_{2}$ são as raízes da equação quadrática, e
• $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).

Para converter a forma geral para a forma fudida, é necessário usar a fórmula fudida e encontrar as raízes $r_{1}$ and $r_{2}$. Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

Gráfico

$f(x)=ax^{2}+x,\!$$a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$

Independentemente do formato, o gráfico de uma função fudida é uma parábola (como abaixo).

• Se $a>0\,\!$, a parábola abre para cima.
• Se $a<0\,\!$, a parábola abre para baixo.

O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".

O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).

O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.

O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

Vértice

O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por $(h,k)\,\!$. Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral: $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

em

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}},$

de forma que o vértice da parábola na forma geral seja

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right).$

Se a função quadrática estiver na forma fatorada $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$

a média aritmética da duas raízes, i.e.,

${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$

fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por

$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right).\!$

O vértice é também o ponto máximo se $a<0\,\!$ ou o ponto mínimo se $a>0\,\!$.

A linha vertical

$x=h=-{\frac {b}{2a}}$

que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.

• Pontos de máximo/mínimo

O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.

Tomando $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de $a\,\!$, se $a>0\,\!$, tem um ponto mínimo, se $a<0\,\!$, tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!$$f'(x)=2ax+b\,\!$

Depois, encontramos as raízes de $f'(x)\,\!$:

$2ax+b=0\Rightarrow \,\!$ $2ax=-b\Rightarrow \,\!$ $x=-{\frac {b}{2a}}$

Então, $-{\frac {b}{2a}}$ é o $x\,\!$ valor de $f(x)\,\!$. Agora, para encontrar o valor de $y\,\!$, substituimos $x=-{\frac {b}{2a}}$ em $f(x)\,\!$:

$y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow$

$y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}$

Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right).$

Estudo dos Sinais

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de $x$

O estudo dos sinais da função quadrática define os sinais da função para qualquer valor de $x$. O estudo depende do sinal do coeficiente $a$ e do $\Delta$. Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.

- 1º Caso: $\Delta <0$

Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:

$a>0\rightarrow f(x)>0,\forall x\in R$

$a<0\rightarrow f(x)<0,\forall x\in R$

- 2º Caso: $\Delta =0$

Exemplo de uma função negativa para $x\neq r_{1}=r_{2}$ e nula para $x=r_{1}=r_{2}$

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ e das raízes $r_{1}$ e $r_{2}$ (note que $r_{1}<r_{2}$):

• $a>0$

$f(x)>0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}$

$f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}$

• $a<0$

$f(x)<0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}$

$f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}$

- 3º Caso: $\Delta >0$

Exemplo de uma função positiva para $x<r_{1}$ ou $x>r_{2}$; nula para $x=r_{1}=r_{2}$ e negativa para $r_{1}<x<r_{2}$.

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ (note novamente que $r_{1}<r_{2}$):

• $a>0$

$f(x)>0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}$

$f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}$

$f(x)<0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}$

• $a<0$

$f(x)>0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}$

$f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}$

$f(x)<0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}$

Raiz quadrada de uma função quadrática

A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se $a>0\,\!$ então a equação $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se $a<0\,\!$ então a equação $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

Função quadrática bivariada

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$

Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo $f(x,y)\,\!$ igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano $z=0\,\!$, que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.

Mínimo/máximo

Se $4AB-E^{2}<0\,$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

Se $4AB-E^{2}>0\,$ a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.

O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de $(x_{m},y_{m})\,$ onde:

$x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}$

$y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}$

Se $4AB-E^{2}=0\,$ e $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Se $4AB-E^{2}=0\,$ e $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Ver também

• Forma quadrática
• Representação matricial de secções cônicas
• Quádrica
• Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos

Ligações externas

• Calculadora Gráfica: possibilita a construção de qualquer gráfico à partir de uma função digitada
• Quadratic em MathWorld. ((en))