Hiperboloide

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Hyperboloid1.png
Hiperboloide de uma folha
DoubleCone.png
superfície cônica
Hyperboloid2.png
Hiperboloide de duas folhas

Na geometria, um hiperboloide de revolução, às vezes chamado de hiperboloide circular, é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus principais eixos. Um hiperboloide é uma superfície que pode ser obtida a partir de um hiperboloide de revolução, deformando-o por meio de escalonamentos direcionais, ou mais geralmente, de uma transformação afim.

Um hiperboloide é uma superfície quádrica, que é uma superfície que pode ser definida como o conjunto zero de um polinômio de grau dois em três variáveis. Entre as superfícies quádricas, um hiperboloide é caracterizado por não ser um cone ou um cilindro, ter um centro de simetria e interceptar muitos planos em hipérboles. Um hiperboloide também possui três eixos perpendiculares de simetria emparelhados e três planos perpendiculares de simetria emparelhados.

Dado um hiperboloide, se alguém escolhe um sistema de coordenadas cartesianas cujos eixos são eixos de simetria do hiperboloide, e origem é o centro de simetria do hiperboloide, então o hiperboloide pode ser definido por uma das duas equações seguintes:

ou

Ambas as superfícies são assintóticas ao cone de equação

Só se obtém um hiperboloide de revolução se e somente se Caso contrário, os eixos são exclusivamente definidos (até a troca do eixo x e do eixo y.)

Existem dois tipos de hiperboloides. No primeiro caso ( no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de uma folha, também chamado hiperboloide hiperbólico. É uma superfície conectada, que tem uma Curvatura Gaussiana negativa em cada ponto. Isto implica que o plano tangente em qualquer ponto intercepta o hiperboloide em duas retas e, assim, que o hiperboloide de uma folha é uma superfície duplamente regrada.

No segundo caso ( no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de duas folhas, também chamado hiperboloide elíptico. A superfície tem dois componentes conectados e uma curvatura gaussiana positiva em cada ponto. Assim, a superfície é convexa no sentido de que o plano tangente em todos os pontos intercepta a superfície somente nesse ponto.

Representações paramétricas[editar | editar código-fonte]

Animação de um hiperboloide de revolução

As coordenadas cartesianas para os hiperboloides podem ser definidas, similares às coordenadas esféricas, mantendo o ângulo azimutal , mas mudando a inclinação para funções trigonométricas hiperbólicas:

Hiperboloide de uma superfície:

Hiperboloide de duas superfícies:

hiperboloide de uma folha: geração por uma hipérbole (topo) e retas (fundo: vermelho ou azul)
hiperboloide de uma folha: seções planas

Propriedades de um hiperboloide de uma folha[editar | editar código-fonte]

Retas na superfície[editar | editar código-fonte]

Se o hiperboloide tem a equação então as retas

estão contidas na superfície.

No caso de o hiperboloide é uma superfície de revolução e pode ser gerado pela rotação de uma das duas retas ou , que são inclinados para o eixo de rotação (ver imagem). A geração mais comum de um hiperboloide de revolução é a rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo semi-secundário (ver imagem).

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a um paraboloide hiperbólico.

Seções planas[editar | editar código-fonte]

Por simplicidade, as seções planas da unidade hiperboloide com equação são considerados. Como um hiperboloide em posição geral é uma imagem afim da unidade hiperboloide, o resultado também se aplica ao caso geral.

  • Um plano com uma inclinação menor que 1 (1 é a inclinação das linhas no hiperboloide) intercepta numa elipse,
  • Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem intercepta em um par de linhas paralelas,
  • Um plano com uma inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta em uma parábola,
  • Um plano tangencial intercepta em um par de linhas de concorrentes,
  • Um plano não tangencial com uma inclinação maior que 1 intersecta em uma hipérbole.[1]

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de uma folha contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

hiperboloide de duas folhas: geração pela rotação de uma hipérbole
hiperboloide de duas folhas: seções planas

Propriedades de um hiperboloide de duas folhas[editar | editar código-fonte]

O hiperboloide de duas folhas não contém retas. A discussão de seções planas pode ser realizada para a unidade hiperboloide de duas folhas com equação

.

que pode ser gerado por uma hipérbole rotativa em torno de um de seus eixos (aquele que corta a hipérbole)

  • Um plano com declive menor que 1 (1 é o declive das assíntotas da hipérbole geradora) intercepta ou em uma elipse ou em um ponto ou não intercepta,
  • Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem (ponto médio do hiperboloide) não cruza ,
  • Um plano com inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta em uma parábola,
  • Um plano com inclinação maior que 1 intercepta em uma hipérbole.[2]

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de duas folhas contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a uma esfera.

Representação paramétrica comum[editar | editar código-fonte]

A seguinte representação paramétrica inclui hiperboloides de uma folha, duas folhas e seu cone de limite comum, cada um com o eixo como o eixo de simetria:

  • Para obtém-se um hiperboloide de uma folha,
  • Para um hiperboloide de duas folhas e
  • Para um cone duplo.

Pode-se obter uma representação paramétrica de um hiperboloide com um eixo de coordenadas diferente como o eixo de simetria, arrastando a posição do termo para o componente apropriado na equação acima.

Simetrias de um hiperboloide[editar | editar código-fonte]

Os hiperboloides com equações são

  • ponto simétrico à origem,
  • simétrica para os planos de coordenadas e
  • simétrica rotacional ao eixo z e simétrica a qualquer plano que contenha o eixo z, em caso de (hiperboloide de revolução).

Na curvatura de um hiperboloide[editar | editar código-fonte]

A curvatura gaussiana de um hiperboloide de uma folha é negativa, a de um hiperboloide de duas folhas é positiva. Apesar de sua curvatura positiva, o hiperboloide de duas folhas com outra métrica adequadamente escolhida também pode ser usado como modelo para geometria hiperbólica.

Equações generalizadas[editar | editar código-fonte]

Mais geralmente, um hiperbolóide arbitrariamente orientado, centrado em , é definido pela equação

onde é uma matriz e , são vetores.

Os autovetores de definem as direções principais do hiperboloide e os autovalores de são os recíprocos dos quadrados dos semi-eixos: , e . O hiperboloide de uma folha tem dois autovalores positivos e um autovalor negativo. O hiperboloide de duas folhas tem um autovalor positivo e dois autovalores negativos.

Em mais de três dimensões[editar | editar código-fonte]

Hiperboloides imaginários são frequentemente encontrados em matemática de dimensões superiores. Por exemplo, em um espaço pseudo-euclidiano, tem-se o uso de uma forma quadrática:

Quando é qualquer constante, então a parte do espaço dada por

é chamado de hiperboloide. O caso degenerado corresponde a .

Como exemplo, considere a seguinte passagem:[3]

... os vetores de velocidade sempre se encontram em uma superfície que Minkowski chama de hiperboloide quadridimensional, expressa em termos de coordenadas puramente reais (y1, ..., y4), sua equação é y2
1
+ y2
2
+ y2
3
y2
4
= −1
, análogo ao hiperboloide y2
1
+ y2
2
y2
3
= −1
de espaço tridimensional.

No entanto, o termo quasi-esfera também é usado neste contexto, uma vez que a esfera e o hiperboloide têm alguma semelhança.

Estruturas hiperboloides[editar | editar código-fonte]

Hiperboloides de uma folha são usados na construção, com estruturas chamadas estruturas hiperboloides. Um hiperboloide é uma superfície duplamente regrada; Assim, ele pode ser construído com vigas retas de aço, produzindo uma estrutura forte a um custo menor do que outros métodos. Exemplos incluem torres de resfriamento, especialmente de usinas elétricas, e muitas outras estruturas.

Relação com a esfera[editar | editar código-fonte]

Em 1853, William Rowan Hamilton publicou suas Lectures on Quaternions, que incluíam a apresentação de biquaternions. A passagem a seguir da página 673 mostra como Hamilton usa álgebra de biquaternion e vetores de quaternions para produzir hiperboloides a partir da equação de uma esfera:

... a equação da esfera unitária ρ2 + 1 = 0, e mude o vetor ρ para uma forma de bivetor, como σ + τ −1. A equação da esfera então se divide no sistema das duas seguintes,
σ2τ2 + 1 = 0, S.στ = 0;
e sugere nossa consideração σ e τ como dois vetores reais e retangulares, de modo que
Tτ = (Tσ2 − 1 )1/2.
Por isso, é fácil inferir que, se assumirmos σ λ, onde λ é um vetor em uma determinada posição, o novo vetor real σ + τ terminará na superfície de um hiperboloide de duas folhas e equilátero; e que, se, por outro lado, assumirmos τ λ, então o locus da extremidade do vetor real σ + τ será um hiperboloide equilátero, mas de uma folha. O estudo desses dois hiperboloides é, portanto, assim conectado de maneira muito simples, através de biquaternions, com o estudo da esfera.; ...

Nesta passagem S é o operador que dá a parte escalar de um quaternion, e T é o "tensor", agora chamado de norma, de um quaternion.

Uma visão moderna da unificação da esfera e do hiperboloide usa a ideia de uma seção cônica como uma fatia de uma forma quadrática. Em vez de uma superfície cônica, uma exige hiper-superfícies cônicas no espaço de quatro dimensões com pontos p = (w, x, y, z) ∈ R4 determinado por formas quadráticas. Primeiro, considere a hiper-superfície cônica

e
que é um hiperplano.

Então é a esfera com raio r. Por outro lado, a hiper-superfície cônica

prevê que é um hiperboloide.

Na teoria das formas quadráticas, uma unidade quasi-esfera é o subconjunto de um espaço quadrático X consistindo em xX tal que a norma quadrática de x é um.[4]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Torre hiperboloide de Shukhov (1898) em Vyksa

Referências

  1. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
  2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122
  3. Thomas Hawkins (2000) Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics, 1869—1926, §9.3 "The Mathematization of Physics at Göttingen", see page 340, Springer ISBN 0-387-98963-3
  4. Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras and the Classical Groups, pages 22, 24 & 106, Cambridge University Press ISBN 0-521-55177-3
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Ligações externas[editar | editar código-fonte]