Conjugado transposto

Na matemática, o “conjugado transposto”, ou, “transposto Hermitiano” de uma matriz $m\times n$ complexa $\mathbf {A}$, é uma matriz $n\times m$ obtida pela transposta de $\mathbf {A}$ e tomando o [[conjugado complexo] de cada elemento da matriz. É tipicamente denotado por $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$,ou $\mathbf {A} ^{*}$, ou $\mathbf {A} '$, ou então (tipicamente na Física) $\mathbf {A} ^{\dagger }$.

Para as matrizes reais, o conjugado transposto é simplesmente o transposto: $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$, afinal o conjugado complexo de um número real é o próprio número.

Definição

O conjugado complexo de uma matriz $\mathbf {A}$ $m\times n$ é formalmente definido como

$\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}$

 

 

 

 

(Eq.1)

onde o subescrito $ij$ denota o $(i,j)$-ésimo elemento de $1\leq i\leq n$ and $1\leq j\leq m$, e a barra superior denota o escalar do complexo conjugado. Sem perda de generalidade, essa definição também pode ser escrita como

$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}$

onde $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ denota a transposta e ${\overline {\mathbf {A} }}$ denota a matriz com elementos conjugados complexos.

Outros nomes associados ao transposto conjugado de uma matriz são “conjugado Hermitiano”, “matriz adjunta” e “transjugado”.

O transposto conjugado de uma matriz $\mathbf {A}$ pode ser denotado por qualquer um destes símbolos:

• $\mathbf {A} ^{*}$, tipicamente usado na álgebra linear
• $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$, também tipicamente usado na álgebra linear
• $\mathbf {A} ^{\dagger }$ (em geral pronunciado como A dagger), tipicamente usado no contexto da mecânica quântica
• $\mathbf {A} ^{+}$, embora este símbolo seja mais comumente usado para a inversa de Moore-Penrose.

Em certos contextos, $\mathbf {A} ^{*}$ pode denotar a matriz apenas com elementos conjugados complexos, sem a transposição.

Exemplo

Suponha que você deseje calcular a conjugada transposta de seguinte matriz $\mathbf {A}$.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}$

Primeiro, realiza-se a transposição da matriz:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}$

Em seguida, conjuga-se cada elemento da matriz:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}$

Observações básicas

Uma matriz quadrada (ou seja, necessariamente $n\times n$) $\mathbf {A}$ com elementos $a_{ij}$ é dita

• Hermitiana ou autoadjunta se $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$; i.e., $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$.
• Anti-hermitiana se $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$; i.e., $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$.
• Normal se $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$.
• Unitária se $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}$, equivalentemente$\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}$, equivalentemente $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}$.

Mesmo que $\mathbf {A}$ não seja quadrada, ambas as matrizes $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A}$ e $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ são Hermitianas e semi-definidas positivas.

A matriz conjugada transposta “adjunta” $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ não deve ser confundida com a matriz adjunta $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$, que é também chamada frequentemente apenas de “adjunta”.

O transposto conjugado de uma matriz $\mathbf {A}$ com elementos reais reduz-se para a transposta de $\mathbf {A}$, já que o conjugado de um número real é o próprio número.

Motivação

A conjugada transposta pode ser motivada ao notar que números complexos podem ser representados na forma matricial por uma matriz real $2\times 2$, e, portanto, obedecem as propriedades matriciais de soma e multiplicação.

$a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$

Ou seja, representando cada número complexo $z$ pela matriz real $2\times 2$ da transformação linear no plano complexo (visto como o espaço vetor “real” $\mathbb {R} ^{2}$), afetado pela multiplicação complexa de “$z$” em $\mathbb {C}$.

Dessa forma, uma matriz de números complexos $m\times n$ pode ser bem representada por uma matriz de números reais $2m\times 2n$. A conjugada transposta, portanto, surge naturalmente como o resultado de transpor tal matriz—quando interpretado novamente como uma matriz $n\times m$ composta por números complexos.

Propriedades da conjugada transposta

• $(\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }$ para qualquer duas matrizes $\mathbf {A}$ e ${\boldsymbol {B}}$ de mesmas dimensões.
• $(z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ para qualquer número complexo $z$ e qualquer matriz $\mathbf {A}$ $m\times n$.
• $(\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ para qualquer matriz $\mathbf {A}$ $m\times n$ e qualquer matriz ${\boldsymbol {B}}$ $n\times p$. Perceba que a ordem dos fatores é revertida.
• $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A}$ para qualquer matriz $\mathbf {A}$ $m\times n$, ou seja, a transposição Hermitiana é uma involução.
• Se $\mathbf {A}$ é uma matriz quadrada, então $\det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}$ onde $\operatorname {det} (A)$ representa o determinante de $\mathbf {A}$ .
• Se $\mathbf {A}$ é uma matriz quadrada, então $\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}$ onde $\operatorname {tr} (A)$ representa o traço de $\mathbf {A}$.
• $\mathbf {A}$ é inversível se e somente se $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ é inversível, e, neste caso $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }$.
• Os autovalores de $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ são os conjugados complexos dos autovalores de $\mathbf {A}$.
• $\left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ para qualquer matriz $\mathbf {A}$ $m\times n$, qualquer vetor em $x\in \mathbb {C} ^{n}$ e qualquer vetor $y\in \mathbb {C} ^{m}$. Aqui, $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ representa o produto interno complexo em $\mathbb {C} ^{m}$, e similarmente para $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$.

Generalizações

A última propriedade dada mostra que se tratarmos $\mathbf {A}$ como a transformação linear do espaço de Hilbert $\mathbb {C} ^{n}$ para $\mathbb {C} ^{m},$ então a matriz $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ corresponde ao Hermitiano adjunto de $\mathbf {A}$. O conceito de operadores adjuntos entre espaços de Hilbert pode, dessa forma, ser visto como uma generalização dos conjugados transpostos de matrizes em relação à uma base ortonormal. Outra generalização também é possível: suponha que $A$ seja um mapa linear the um espaço vetorial complexo $V$ para um outro, $W$, então a transformação linear do complexo conjugado assim como a transformação linear transposta são definidas, e portanto é possível afirmar que o conjugado transposto de $A$ é o conjugado complexo da transposta de $A$. Ou seja, ele transforma o conjugado dual de $W$ ao conjugado dual de $V$

Ver também

• Produto escalar
• Hermitiano adjunto
• Matriz adjunta

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Adjoint matrix», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer