Proporção áurea

A proporção nub, número de ovo, número áureo ou proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega $\phi$ (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de seção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência. O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias .

Desde a Antiguidade, a proporção áurea é empregada na arte. É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi $\pi$), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção das conchas (o nautilus, por exemplo), dos seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo) e nas colméias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.

Justamente por estar envolvido no crescimento, este número se torna tão frequente. E justamente por haver essa frequência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar desse status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.

Cálculo do número $\phi$

Divisão em média e extrema razão. A partir de um segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea multiplicando-o por 0,618 (média). Para encontrar-se um segmento maior, em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por 1,618.

Definição algébrica

A razão áurea é definida algebricamente como:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\phi \,.$

A equação da direita mostra que $a=b\phi ,$ o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

${\frac {b\phi +b}{b\phi }}={\frac {b\phi }{b}}\,.$

Cancelando b em ambos os lados, temos:

${\frac {\phi +1}{\phi }}=\phi .$

Multiplicando ambos os lados por $\phi ,$ resulta:

$\phi +1=\phi ^{2}.$

Finalmente, subtraindo $\phi ^{2}$ de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por $-1,$ encontramos:

$\phi ^{2}-\phi -1=0,$ que é uma equação quadrática da forma $ax^{2}+bx+c=0,$ em que $a=1,\ b=-1\ \mathrm {e} \ c=-1.$

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

$\phi ={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$\phi ={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot {1}\cdot {(-1)}}}}{2\cdot {1}}}$

$\phi ={\frac {1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}$

$\phi ={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618\,033\,989,$ que é o número $\phi .$

Sequência de Fibonacci

Representação da sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.

Como é um número extraído da sequência de Fibonacci, o número áureo representa diretamente uma constante de crescimento.

O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

${\frac {2}{1}}=2$

${\frac {3}{2}}=1,5$

${\frac {5}{3}}=1,666...$

${\frac {8}{5}}=1,6$

${\frac {13}{8}}=1,625$

Série de frações

O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas, normalmente representadas com [a,b,c,d,e], o que resulta em:

$a+{\frac {1}{b+{\frac {1}{c+{\frac {1}{d+{\frac {1}{e}}}}}}}}$

A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.

$[1,1]=1+{\frac {1}{1}}=1+1=2.$

$[1,1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}=1,5.$

$[1,1,1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}=1+{\frac {1}{\frac {3}{2}}}=1+{\frac {2}{3}}={\frac {5}{3}}=1,666.$

$[1,1,1,1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}=1+{\frac {1}{\frac {5}{3}}}=1+{\frac {3}{5}}={\frac {8}{5}}=1,6.$

Série de raízes

${\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}$

Proporção áurea na natureza

Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano e no universo.

Este número, assim como outros, por exemplo o Pi, estão presentes no mundo por uma razão matemática existente na natureza.

Essa sequência aparece na natureza, no DNA, no comportamento da refração da luz, dos átomos, nas vibrações sonoras, no crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.

Figuras geométricas

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em proporção áurea com o raio da circunferência.

O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.

Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.

Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Esse era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.

A Maçonaria também tomou emprestado o simbolismo da Proporção Dourada em seus ensinamentos, com a utilização de seu método para obtenção do Pentagrama e do Quadrado Oblongo, existentes em algumas Lojas Maçônicas.

Vegetais

• Semente de girassol – A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais de sementes de um girassol é a razão áurea.
• Achillea ptarmica – Razão do crescimento de seus galhos.
• Folhas das Árvores – A proporção em que diminuem as folhas de uma árvore à medida que subimos de altura.

Animais

• População de abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.
• Concha do caramujo Nautilus – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras para poder regular a profundidade de sua flutuação. Obs.: até hoje não se encontrou nenhum caramujo Nautilus que comprove essa afirmação amplamente difundida! (vide "O número de Ouro", Michel Spira, palestra OBMEP, 2006; Colaboração: Prof. Francisco Teodorico Pires de Souza)
• Outros – phi estão também nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.

Corpo humano

O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As ideias de proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.

Proporções áureas em uma mão.

• A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
• A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
• A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
• A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
• O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
• A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.

Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.

• Dimensão do útero em mulheres jovens (16 e 20 anos), segundo o pesquisador Jasper Vergtus, da Universidade de Leuven.

Aplicações

O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, seja nos projetos arquitetônicos, seja até mesmo na música.

Arte

As linhas vermelhas representam os eixos vertical e horizontal. As linhas brancas são divisões áureas. Os olhos e a boca estão posicionados nessa estrutura geométrica.

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza.

Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição.

Ver artigo principal: Mona Lisa

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada. Medições feitas por computador mostram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.

Literatura

• Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro.
• Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro.
• Virgílio em sua obra Eneida, construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.

Retângulo dourado

Proporção áurea em retângulos.

Ver artigo principal: Rectângulo de ouro

Em geometria, o retângulo de ouro surge do processo de divisão em média e extrema razão, de Euclides. Ele é assim chamado porque ao dividir-se a base desse retângulo pela sua altura, obtêm-se o número de ouro 1,618.

Música

O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven, e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que, em seus solos curtos, aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa. O compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra. Este fato pode ser visto na análise da música de Bartók feita por Ernö Lendvai (Béla Bartók: And Analysis of his Music).

Cinema

O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número $\phi$ no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.

Objetos atuais

Atualmente, essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram "respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um cartão de crédito, alguns livros, jornais, uma foto revelada, são alguns exemplos entre outros.

Bibliografia

• Cole, K. C.. O Universo e a Xícara de Chá. São Paulo: Record, 2006. 294p.
• Doczi, György. O Poder dos limites. São Paulo: Mercuryo, 1990.
• Livio, Mario. Razão áurea: a história do phi. São Paulo: Record, 2006. 336p.

Ver também

• Divisão em média e extrema razão
• Número de Fibonacci
• Phi
• Regra dos terços
• Rectângulo de ouro

Ligações externas

• «goldennumber.net - The "phinest" information on the Golden Section» (em inglês) 
• «Fibonacci Numbers and The Golden Section in Art, Architecture and Music» (em inglês) 
• Constantes PHI, PI e E