Integral múltipla

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A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais.

Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguidos pela função e pelos símbolos de diferenciais das variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é, freqüentemente, abreviado por uma letra no sinal de integração mais à direita:

\int\!\!\int\!\!\ldots\int_D\,f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\,dx_1\,dx_2\ldots dx_n

Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 pode ser calculado usando:

  • A integral dupla
\int\!\!\int_D\,5\,dx\,dy

da função f(x,y)=5 na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.

  • A integral tripla
\int\!\!\int\!\!\int_D\,1\,dx\,dy\,dz

da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Assim como nas integrais de uma variável, a integral múltipla pode ser definida a partir de uma Soma de Riemann[1] [2] .

Integral múltipla sobre uma região retangular[editar | editar código-fonte]

Esboço de uma partição C de uma região retangular T = [a_1,~b_1)\times [a_2,~b_2).

Consideramos T\subset\mathbb{R}^n um retângulo de n\geq 1 dimensões semi-aberto:

T=[a_1,b_1)\,\times\,[a_2,b_2)\,\times\ldots\,\times\,[a_n,b_n)

Particionamos cada intervalo [a_i,b_i) em uma família I_i de intervalos disjuntos semi-abertos (fechados na esquerda e aberto na direita). Desta forma,

C=I_1\,\times\,I_2\,\times\ldots\,\times\,I_n

é uma família finita de subretângulos disjuntos que forma uma partição de T.

Seja f:T\to \mathbb R uma função definida em T. Para cada partição C de T temos

T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m

onde m é o número de subretângulos pertencentes à partição C e C_j denota o j-ésimo retângulo desta. Uma soma de Riemann de f associada à partição C é dada por:

\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)

onde para cada k, P_k é um ponto pertencente a C_k e \operatorname{m}(C_k) é o produto dos comprimentos dos intervalos que formam C_k.

Dizemos que a função f é integrável pelo conceito de Riemann (ou, simplesmente, Riemann integrável) se o limite

S(C,f) = \lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)

existe, onde este é tomado sobre todas as partições possíveis de T cujo diâmetro de cada subretângulo é no máximo δ. Se f é Riemann integrável, S(C,f) é chamada integral de Riemann de f sobre T. Escrevemos:

\int\!\!\int\!\!\ldots\int_T\,f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\,dx_1\,dx_2\ldots dx_n = \lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)

A integral múltipla sobre um subconjunto compacto de \mathbb{R}^n[editar | editar código-fonte]

Esboço de uma região de integração D\subset\mathbb{R}^2 compacta e ilustração do procedimento de partição.

A integral de Riemann de uma função definida sobre um subconjunto compacto qualquer pode ser definida estendendo a função para um retângulo semi-aberto cujos valores fora do domínio original são nulos. Mais precisamente, sejam D\subset\mathbb{R}^n compacto e f:D\to\mathbb{R} função limitada definida em D. Consideramos a extensão de f para o domínio \mathbb{R}^n assumindo que f\equiv 0 fora de D. Como D é limitado, tomamos um retângulo T\supset D.

De forma análogo ao caso anterior, dizemos que a função f é Riemann integrável sobre D quando existe L\in\mathbb{R} (valor da integral) tal que, para todo número real \epsilon > 0, existe uma partição C_\epsilon de T tal que se C é um refinamento de C_\epsilon e S(C,f) é qualquer soma de Riemann de f associada à partição C, então |S(C,f) - L| < \epsilon.

Note que o limite L, quando existe, não depende da escolha do retângulo T, desde que ele contenha D.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

As integrais múltiplas têm várias propriedades análogas às integrais simples (unicidade, linearidade, aditividade, etc)[2] . Além disso, uma integral múltipla pode ser usada para definir o valor médio de uma função em um dado conjunto. Dado um conjunto D\subset \mathbb R^n e uma função integrável f sobre D, a valor médio de f sobre seu domínio é dado por

\bar{f} = \frac{1}{m(D)} \int_D f(x)\, dx,

onde \;m(D) é a medida de \;D.

Métodos de Integração[editar | editar código-fonte]

A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste na maioria dos casos em achar um método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma diretamente integrável. Este procedimento é garantido pelo Teorema de Fubini.

Fórmulas de redução[editar | editar código-fonte]

Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples. Essas têm que ser resolvidas da direita para a esquerda considerando as outras variáveis como constantes (o mesmo procedimento adotado para o cálculo de derivadas parciais).

Domínios no R2[editar | editar código-fonte]

Eixo x

Esboço de um domínio do tipo D: a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x).

Se D é um domínio delimitado por x=a (esquerda), x=b (direita), y=\alpha(x) (inferior) e por y=\beta(x) (superior) (veja ,então, a integral pode ser reduzida a:

\int\!\!\int_D\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=\alpha(x)}^{y=\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx

Eixo y

Esboço de um domínio do tipo D : a \leq y \leq b, \alpha(y) \leq x \leq \beta(y).

Se D é um domínio delimitado por y=a (superior), y=b (inferior), x=\alpha(y) (esquerda) e por x=\beta(y) (direita),então, a integral pode ser reduzida a:

\int\!\!\int_D\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int_{y=a}^{y=b}\int_{x=\alpha(y)}^{x=\beta(y)} f(x,y)\,dx\,dy

Domínios no R3[editar | editar código-fonte]

As integrais triplas são reduzidas a integrais duplas e estas a integrais simples; assim, se no plano xy o domínio é limitado por z=\alpha(x,y) e z=\beta(x,y), a integral fica:

\int\!\!\int_D\int_{z=\alpha(x,y)}^{z=\beta(x,y)}\,f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy

Agora, temos uma integral dupla sobre D.

Mudança de variável[editar | editar código-fonte]

Às vezes, regiões complicadas podem ser transformadas em regiões simples através de uma mudança de variável. Em integrais simples, quando fazemos uma mudança de variável x=x(u) (consequentemente, u=u(x)), a integral fica:

\int_a^b\,f(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}\,f(u)x'(u)\,du

Analogamente, uma expressão que depende das derivadas parciais aparece na mudança de variáveis. Seja f:D\to\mathbb{R}^n e u=u(x) uma função que transforma D em T. A integral de f sobre D fica:

\int_D\,f(x)\,dx=\int_T\,f(u)\frac{\part x}{\part u}\,du

onde \frac{\part x}{\part u} é o Jacobiano de x em relação a u.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Thomas, George. Cálculo - Volume 2. [S.l.]: Pearson, 2003. ISBN 9788581430874
  2. a b Bartle, Robert G.. The Elements of Real Analysis. Second Edition ed. [S.l.]: Wiley, 1976. ISBN 9780471054641