Teorema de Stokes

O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes (1819-1903), embora a primeira referência conhecida do resultado seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes, datada de 2 de julho de 1850.^[1]^[2] Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green.

Introdução

O teorema fundamental do cálculo estabelece que a integral de uma função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através da busca de uma antiderivada F de f:

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).

O teorema de Stokes é uma grande generalização deste teorema no seguinte sentido.

Por uma escolha de F, $\scriptstyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)$ . Na linguagem das formas diferenciais, isto é dizer que f(x) dx é a derivada exterior da 0-forma, isto é função, F: em outras palavras, que dF = f dx. O teorema geral de Stokes se aplica a formas diferenciais superiores $\omega$ em vez de F.
Um intervalo [a, b] é simplesmente um exemplo de uma variedade unidimensional com bordo. Seu bordo é o conjunto que consiste dos dois pontos a e b. A integração de f sobre o intervalo pode ser generalizada para a integração de formas sobre variedades de dimensões maiores. Duas condições técnicas são necessárias: a variedade tem que ser orientável, e a forma tem que ter suporte compacto para que a integral resultante esteja bem definida.
Os dois pontos a e b formam o bordo do intervalo aberto. De forma mais geral, o teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M com bordo. A fronteira ∂M de M é ela mesma uma variedade e herda uma orientação natural daquela da variedade. Por exemplo, a orientação natural do intervalo fornece uma orientação dos pontos da fronteira. Intuitivamente, a herda a orientação oposta de b, uma vez que são extremos opostos do intervalo. Então, "integrar" F sobre os pontos a e b da fronteira é tomar a diferença F(b) − F(a).

Assim o teorema fundamental pode ser lido como:

\int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).

Formulação geral

Seja $\Omega$ uma variedade suave orientada de dimensão n e seja $\scriptstyle \alpha$ uma n-forma diferencial compactamente suportada em $\Omega$ . Primeiramente, suponha que α tem suporte compacto no domínio de uma única carta orientada {U, φ}. Neste caso, define-se a integral de $\scriptstyle \alpha$ sobre $\Omega$ como sendo

\int _{\Omega }\alpha =\int _{\phi ^{-1}(U)}\left(\phi ^{-1}\right)^{*}\alpha \,

isto é, via um pullback de α para Rⁿ.

Mais geral, integral de $\scriptstyle \alpha$ sobre $\Omega$ é definida como segue: seja {ψ_i} uma partição da unidade associada a uma cobertura localmente finita {U_i, φ_i} de cartas (orientadas de modo consistente), então defina a integral

\int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\,\alpha \,,

onde cada termo da soma é avaliado através do pullback para Rⁿ como descrito acima. Esta quantidade é bem definida, ou seja, não depende da escolha das cartas, nem da partição da unidade.

O teorema de Stokes diz: Se $\omega$ é uma (n − 1)-forma com suporte compacto em $\Omega$ e $\partial \Omega$ denota a fronteira de $\Omega$ com sua orientação induzida, então

Uma variedade de integração conhecida como "normal" (aqui em vez de $\Omega$ usou-se D) para o caso especial em que n=2

\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \ \ \left(=\oint _{\partial \Omega }\omega \right).\!\,

Aqui $\,\mathrm {d}$ é a derivada exterior, que é definida usando apenas a estrutura de variedade. No lado direito, as vezes se utiliza um circulo dentro do sinal da integral para enfatizar o fato de que a (n-1)-forma $\partial \Omega$ é fechada.^[3] O lado direito da equação é usado frequentemente para formular leis integrais; o lado esquerdo leva então a uma formulação diferencial equivalente (ver abaixo).

O teorema é usado com frequência em situações nas quais $\Omega$ é uma subvariedade orientada mergulhada de uma variedade maior na qual a forma $\omega$ está definida.

Uma demonstração é particularmente simples se a variedade $\Omega$ for uma assim conhecida "variedade normal", como na figura do lado direito, que pode ser segmentada em faixas verticais (por exemplo paralelas a direção x_n) , tais que depois de uma integração parcial em relação a esta variável, contribuições não triviais vem apenas das superfícies das fronteiras superior e inferior (pintadas em amarelo e vermelho, respectivamente), onde as orientações mutuamente complementares são visíveis através das setas.

Casos especiais

Teorema de Kelvin-Stokes

Esta é um caso 1+1 dimensional dualizado, para uma 1-forma (dualizado porque ele é uma afirmação sobre campos vetoriais). É comum se referir a este caso especial apenas como teorema de Stokes em muitos cursos universitários introdutórios de cálculo vetorial. Ele também é chamado as vezes de teorema do rotacional.

O teorema de Kelvin-Stokes clássico:

$\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,$

que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial numa superfície Σ no espaço tridimensional euclidiano à integral de linha do campo vetorial sobre sua fronteira, é um caso especial do teorema generalizado de Stokes (com n = 2) uma vez que se identifica um campo vetorial com uma 1-forma usando a métrica do espaço euclidiano. A curva da integral de linha, ∂Σ, deve ter orientação positiva, de modo que dr aponta no sentido anti-horário quando a normal da superfície, dΣ, aponta em direção ao observador, seguindo a regra da mão direita.

Uma consequência da fórmula é que as linhas de campo de um campo vetorial com rotacional nulo não podem ter contorno fechado.

A fórmula pode ser escrita como:

\iint \limits _{\Sigma }\left\{\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\right\}

=\oint \limits _{\partial \Sigma }\left\{P\,dx+Q\,dy+R\,dz\right\}

em que P, Q e R são as componentes de F.

Estas variantes também são usadas com frequência:

\int _{\Sigma }\left(g\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)+\left(\nabla g\right)\times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {\Sigma }

\ =\oint _{\partial \Sigma }g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,

\int _{\Sigma }\left(\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {\Sigma }

\ =\oint _{\partial \Sigma }\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {r} .

Teorema de Green

O teorema de Green é reconhecido imediatamente como o terceiro integrando de ambos os lados da integral em termos de P, Q e R citada acima.

Notas

↑ Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampere to Einstein, p. 146,ISBN 0-19-850593-0 Oxford (2000)
↑ Spivak (1965), p. vii, Prefácio.
↑ Entre os matemáticos este fato é conhecido, então o circulo é redundante e frequentemente deixado de lado. No entanto, deve-se ter em mente aqui que em termodinâmica, onde frequentemente aparecem expressões como $\oint _{W}\,\{d_{\,total\,}U\}$ (em que a derivada total, ver abaixo, não deve ser misturada com a derivada exterior), o caminho de integração W é uma linha unidimensional fechada em uma variedade de dimensão bem maior. Isto é, em aplicações termodinâmicas, onde U é uma função da temperatura $\alpha _{1}:=T$ , o volume $\alpha _{2}:=V\,,$ e a polarização elétrica $\alpha _{3}:=P$ da amostra, tem-se $\{d_{\,total\,}U\}=\sum _{i=1}^{3}\,{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}\,,$ e o circulo é realmente necessário, por exemplo se for consideradas as consequências diferenciais do postulado da integral $\oint _{W}\,\{d_{\,total\,}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.$

Referências

Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, ISBN 978-0-8053-9021-6, HarperCollins

[1] Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampere to Einstein, p. 146,ISBN 0-19-850593-0 Oxford (2000)

[spivak65-2] Spivak (1965), p. vii, Prefácio.

[3] Entre os matemáticos este fato é conhecido, então o circulo é redundante e frequentemente deixado de lado. No entanto, deve-se ter em mente aqui que em termodinâmica, onde frequentemente aparecem expressões como $\oint _{W}\,\{d_{\,total\,}U\}$ (em que a derivada total, ver abaixo, não deve ser misturada com a derivada exterior), o caminho de integração W é uma linha unidimensional fechada em uma variedade de dimensão bem maior. Isto é, em aplicações termodinâmicas, onde U é uma função da temperatura $\alpha _{1}:=T$ , o volume $\alpha _{2}:=V\,,$ e a polarização elétrica $\alpha _{3}:=P$ da amostra, tem-se $\{d_{\,total\,}U\}=\sum _{i=1}^{3}\,{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}\,,$ e o circulo é realmente necessário, por exemplo se for consideradas as consequências diferenciais do postulado da integral $\oint _{W}\,\{d_{\,total\,}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.$

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