Toro (topologia)

Toro
Notação	$\mathbb{T}^2$
Característica de Euler	0
Grupo fundamental	$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$
Homologia	$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$

Animação Toróide

Toro ou Toróide - é um espaço topológico homeomorfo ao produto de dois círculos. Apresenta o formato aproximado de um pneu. Em geometria pode ser definido com o lugar geométrico tridimensional dos pontos que distam r de uma circunferência.

Formas de construir um toro

• Identificando os lados opostos de um quadrado sem os torcer.
• Identificando os lados opostos de um hexágono sem os torcer.

Geometria

Um toro pode ser imerso no $\mathbb{R}^3\,$ como uma superfície algébrica do quarto grau.

Em coordenadas paramétricas, o toro é gerado por:

$x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

em que

u, v estão no intervalo [0, 2π],

R é a distância do centro do tubo ao centro do toro,

r é o raio do tubo.

Em coordenadas cartesianas, o toro com simetria de rotação no eixo z tem equação:

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!$

eliminando a raiz quadrada, chega-se a:

$(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2) . \,\!$

A área da superfície e o volume do interior são dados por:

$A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,$

$V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,$

As fórmulas da área e do volume são as mesmas de um cilindro circular de altura 2πR e raio da base r. Este cilindro é criado "cortando-se" o toro e estendendo-o pelo centro do tubo. As perdas em área e volume na parte interna são compensadas por ganhos na parte externa.

Referências

• NOCIONES DE GEOMETRIA ANALITICA Y ALGEBRA LINEAL, ISBN 9789701065969, Author: KOZAK ANA MARIA, POMPEYA PASTORELLI SONIA, VERDANEGA PEDRO EMILIO, Editorial: MCGRAW-HILL, Edition 2007, 744 pages, language; spanish
• Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3540152814, ISBN 9783540152811.
• http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml
• "Tore (notion géométrique)" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ver também

• Esfera
• Superfície
• Toro (física nuclear)
• Toro mandibularis
• Toro palatinus

Ligações externas

• Creation of a torus em Cut-the-Knot
• "4D torus" Fly-through cross-sections of a four dimensional torus.
• "Relational Perspective Map" Visualizing high dimensional data with flat torus.
• "Torus Games" Free downloadable games for Windows and Mac OS X that highlight the topology of a torus.
• Polydos