Usuário(a):Cesar Pagan/teste
No cálculo vectorial o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço.
Por exemplo, o gradiente do potencial eléctrico é o campo eléctrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo.
Definição[editar | editar código-fonte]
O vector gradiente ou simplesmente gradiente de uma campo escalar é dado por:
Em notação de soma de Euler temos que:
Já na notação de soma de Einstein para o campo escalar φ:
O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:
O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.
Exemplo[editar | editar código-fonte]
Para a função temos para todo .
Expressões[editar | editar código-fonte]
Para todo campo escalar diferenciável em função do espaço cartesiano temos que:
O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:
Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:
Propriedades[editar | editar código-fonte]
Linearidade[editar | editar código-fonte]
O gradiente é linear:
Onde é um corpo constante.
Lei de Leibniz[editar | editar código-fonte]
O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:
E na divisão:
Ortogonalidade às curvas de nível[editar | editar código-fonte]
O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja uma função definida em e diferenciável em todo seu domínio.
Seja o conjunto onde x e y são funções de um parâmetro t tal que .
Então, temos:
(diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)
A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em , logo os dois são perpendiculares entre si.
Teorema do gradiente[editar | editar código-fonte]
O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:
Derivada direcional[editar | editar código-fonte]
A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um vector (no caso abaixo, ).
Sistemas de coordenadas[editar | editar código-fonte]
O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:
Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]
Para coordenadas espaciais x, y e z.
Coordenadas cilíndricas circulares[editar | editar código-fonte]
Onde representa a distância ao eixo z, é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.
Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]
Onde representa a distância à origem, é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.
Gradientes de tensão[editar | editar código-fonte]
Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.
O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa freqüência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.
Referências[editar | editar código-fonte]
- Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).