Circulação (física)

Linhas de campo de um campo vetorial v, em torno do limite de uma superfície curva aberta com elemento de linha infinitesimal dl ao longo da fronteira e através do seu interior com dS o elemento de superfície infinitesimal e n o unidade normal à superfície. Em cima: Circulação é a integral de linha de v em torno de um circuito fechado C. Projetando v ao longo de dl, então somando. Aqui v é dividido em componentes perpendicular (⊥) paralelo ( ‖ ) a dl, os componentes paralelos são tangenciais ao laço fechado e contribuem para a circulação, os componentes perpendiculares não. Em baixo: A circulação também é o fluxo da vorticidade ω = ∇ × v através da superfície, e o rotacional de v é através da superfície, e heuristicamente representado como uma seta helicoidal (não uma representação literal). Observe-se a projeção de v ao longo dl e o rotacional de v pode ser no sentido negativo, reduzindo a circulação.

Em física, circulação é a integral de linha de um campo vetorial em torno de uma curva fechada. Em dinâmica de fluidos, o campo é o campo de velocidade do fluido. Em eletrodinâmica, pode ser o campo elétrico ou o campo magnético.

Circulação foi usada pela primeira vez de forma independente por Frederick Lanchester, Martin Kutta e Nikolai Jukovski. Geralmente é denotada com Γ (letra grega gama maiúscula).

Definição e propriedades

Se V é um campo vetorial e dl é um vetor que representa o comprimento diferencial de um pequeno elemento de uma curva definida, a contribuição desse comprimento diferencial para a circulação é dΓ:

$$\mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta .$$

Aqui, θ é o ângulo entre os vetores V e dl.

A circulação Γ de um campo vetorial V em torno de uma curva fechada C é a integral de linha:

$$\Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$$

Em um campo vetorial conservador esta integral é avaliada como zero para cada curva fechada. Isso significa que uma integral de linha entre dois pontos quaisquer no campo é independente do caminho percorrido. Também implica que o campo vetorial pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar, a qual é chamada um potencial.

Relação com vorticidade e rotacional

A circulação pode estar relacionada ao rotacional de um campo vetorial V e, mais especificamente, para vorticidade se o campo for um campo de velocidade de fluido,

$${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .$$

Pelo teorema de Stokes, o flux de vetores rotacional ou vorticidade através de uma superfície S é igual à circulação em torno de seu perímetro,

$$\Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$$

Aqui, o caminho de integração fechado ∂S é a fronteira e perímetro de uma superfície aberta S, cujo elemento infinitesimal normal dS = ndS é orientado de acordo com a regra da mão direita. Assim, rotacional e vorticidade são a circulação por unidade de área, obtida em torno de um laço local infinitesimal.

Em fluxo potencial de um fluido com uma região de vorticidade, todas as curvas fechadas que envolvem a vorticidade têm o mesmo valor para circulação.

Usos

Teorema de Kutta–Joukowski em dinâmica dos fluidos

Ver artigo principal: Teorema de Kutta Joukowski

Na dinâmica dos fluidos, a sustentação por unidade de extensão (L') agindo sobre um corpo em um campo de fluxo bidimensional é diretamente proporcional à circulação, i.e. pode ser expresso como o produto da circulação Γ sobre o corpo, a densidade do fluido $\rho$, e a velocidade do corpo em relação ao fluxo livre $v_{\infty }$:

$$L'=\rho v_{\infty }\Gamma$$

Isto é conhecido como o teorema de Kutta–Joukowski.

Esta equação se aplica em torno de aerofólios, onde a circulação é gerada pela ação do aerofólio; e em torno de objetos giratórios experimentando o efeito Magnus, onde a circulação é induzida mecanicamente. Na ação do aerofólio, a magnitude da circulação é determinada pela condição de Kutta.

A circulação em cada curva fechada ao redor do aerofólio tem o mesmo valor e está relacionada à sustentação gerada por cada unidade de comprimento de vão. Desde que a curva fechada envolva o aerofólio, a escolha da curva é arbitrária.

A circulação é frequentemente usada em dinâmica de fluidos computacional como uma variável intermediária para calcular forças em um aerofólio ou outro corpo.

Equações fundamentais do eletromagnetismo

Em eletrodinâmica, o lei da indução de Maxwell-Faraday pode ser expresso em duas formas equivalentes: que a curvatura do campo elétrico é igual à taxa negativa de variação do campo magnético,

$$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$$

ou que a circulação do campo elétrico em torno de uma espira é igual à taxa negativa de variação do fluxo do campo magnético através de qualquer superfície abrangida pela espira, pelo teorema de Stokes

$$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$$

A circulação de um campo magnético estático é, pela lei de Ampère, proporcional à corrente total envolvida pelo circuito

$$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\text{enc}}.$$

Para sistemas com campos elétricos que mudam ao longo do tempo, a lei deve ser modificada para incluir um termo conhecido como correção de Maxwell.

Ver também

Mecânica do contínuo
Leis Conservação da massa Conservação do momento Conservação da energia Desigualdade da entropia
Mecânica dos sólidos Sólidos Tensão Deformação Compatibilidade Deformação finita Deformação infinitesimal Elasticidade linear Plasticidade Flexão Lei de Hooke Teoria de falha dos materiais Mecânica da fratura Mecânica do contato Sem fricção Friccional
Mecânica dos fluidos Fluidos Estática dos fluidos Dinâmica dos fluidos Empuxo Equações de Navier-Stokes Pressão Princípio de Bernoulli Princípio de Arquimedes Princípio de Pascal Turbulência Líquidos Tensão superficial Capilaridade Gases Atmosfera Lei de Boyle-Mariotte Lei de Charles Lei de Gay-Lussac Lei combinada dos gases Plasma
Reologia Viscosidade Newtoniano Não newtoniano Viscoelasticidade Fluidos inteligentes Magnetoreológico Eletroreológico Ferrofluidos Reometria Reômetro
Cientistas Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Navier Newton Pascal Poiseuille Stokes

• Equações de Maxwell
• Lei de Biot-Savart em aerodinâmica
• Teorema da circulação de Kelvin