Teoria da bifurcação

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A teoria da bifurcação é o estudo matemático de mudanças na estrutura qualitativa ou topológica de uma determinada família,[1][2] tais como as curvas integrais de uma família de campos de vetores e as soluções de uma família de equações diferenciais. Mais comumente aplicada ao estudo matemático de sistemas dinâmicos, uma bifurcação ocorre quando uma pequena mudança suave feita nos valores dos parâmetros (os parâmetros de bifurcação) de um sistema causa uma mudança qualitativa ou topológica súbita em seu comportamento.[3]

As bifurcações ocorrem em sistemas contínuos (descritos por EDOs, DDEs[4][5][6] ou PDEs) e sistemas discretos (descritos por mapas). O nome "bifurcação" foi introduzido pela primeira vez por Henri Poincaré em 1885 no primeiro artigo em matemática mostrando tal comportamento.[7] Henri Poincaré também nomeou vários tipos de pontos estacionários[8][9] e classificou-os.

Aplicações em física semiclássica e quântica[editar | editar código-fonte]

A teoria da bifurcação foi aplicada para conectar sistemas quânticos à dinâmica de seus análogos clássicos em sistemas atômicos,[10][11][12] sistemas moleculares[13] e diodos de tunelamento ressonante.[14]

Referências

  1. Weisstein, Eric W. «Family of Curves». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 13 de maio de 2019 
  2. «Introduction to Differential Equations». www.cliffsnotes.com. Consultado em 13 de maio de 2019 
  3. Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differential Equations. London: Thompson. pp. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8 
  4. Richard, Jean-Pierre (2003). «Time Delay Systems: An overview of some recent advances and open problems». Automatica. 39 (10): 1667–1694. doi:10.1016/S0005-1098(03)00167-5 
  5. Griebel, Thomas (1 de janeiro de 2017). «The pantograph equation in quantum calculus». Masters Theses 
  6. «The dynamics of a current collection system for an electric locomotive». royalsocietypublishing.org. 1971. doi:10.1098/rspa.1971.0078. Consultado em 26 de janeiro de 2019 
  7. Henri Poincaré. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.
  8. Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd ed. New York: McGraw-Hill. p. 236. ISBN 0-07-010813-7 
  9. Saddler, David; Shea, Julia; Ward, Derek (2011), «12 B Stationary Points and Turning Points», Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11, ISBN 9781107679573, Cambridge University Press, p. 318 
  10. Gao, J.; Delos, J. B. (1997). «Quantum manifestations of bifurcations of closed orbits in the photoabsorption spectra of atoms in electric fields». Phys. Rev. A. 56 (1): 356–364. Bibcode:1997PhRvA..56..356G. doi:10.1103/PhysRevA.56.356 
  11. Peters, A. D.; Jaffé, C.; Delos, J. B. (1994). «Quantum Manifestations of Bifurcations of Classical Orbits: An Exactly Solvable Model». Phys. Rev. Lett. 73 (21): 2825–2828. Bibcode:1994PhRvL..73.2825P. PMID 10057205. doi:10.1103/PhysRevLett.73.2825 
  12. Courtney, Michael; Jiao, Hong; Spellmeyer, Neal; Kleppner, Daniel; Gao, J.; Delos, J. B.; et al. (1995). «Closed Orbit Bifurcations in Continuum Stark Spectra». Phys. Rev. Lett. 74 (9): 1538–1541. Bibcode:1995PhRvL..74.1538C. PMID 10059054. doi:10.1103/PhysRevLett.74.1538 
  13. Founargiotakis, M.; Farantos, S. C.; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. (1997). «Bifurcation diagrams of periodic orbits for unbound molecular systems: FH2». Chemical Physics Letters. 277 (5–6): 456–464. Bibcode:1997CPL...277..456F. doi:10.1016/S0009-2614(97)00931-7 
  14. Monteiro, T. S. & Saraga, D. S. (2001). «Quantum Wells in Tilted Fields:Semiclassical Amplitudes and Phase Coherence Times». Foundations of Physics. 31 (2): 355–370. doi:10.1023/A:1017546721313 
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