Número bicomplexo: diferenças entre revisões
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Os tessarines são mais conhecidos por sua subálgebra de '''tessarines reais''' <math> t = w + y j,</math> também chamados de [[número complexo hiperbólico|números complexos hiperbólicos]], que expressam a parametrização da [[hipérbole unitária]]. |
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também chamados de [[número complexo hiperbólico|números complexos hiperbólicos]], que expressam a parametrização da [[hipérbole unitária]]. |
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[[James Cockle (lawyer)|James Cockle]] introduziu os tessarines em 1848 em uma série de artigos na [[Philosophical Magazine]]. Cockle usou os tessarines para isolar as séries de cossenos hiperbólicos e as séries de senos hiperbólicos nas séries exponenciais. Ele também mostrou |
[[James Cockle (lawyer)|James Cockle]] introduziu os tessarines em 1848 em uma série de artigos na [[Philosophical Magazine]]. Cockle usou os tessarines para isolar as séries de cossenos hiperbólicos e as séries de senos hiperbólicos nas séries exponenciais. Ele também mostrou como os [[divisor de zero|divisores de zero]] surgem nos tessarines, inspirando ele a usar o termo "impossíveis." |
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Em 1892, [[Corrado Segre]] introduziu os '''números bicomplexos''' no [[Mathematische Annalen]], que |
Em 1892, [[Corrado Segre]] introduziu os '''números bicomplexos''' no [[Mathematische Annalen]], que formam uma algebra equivalente aos tessarines (ver seção abaixo). Como '''números hipercomplexos comutativos''', a álgebra tessarine é defendida por Clyde M. Davenport (1991, 2008) (mudou ''j'' e −''k'' em sua tabela de multiplicação). Davenport notou o isomorfismo com a soma direta do plano de números complexos com si mesmo. Tessarines também foram aplicados no [[processamento digital de sinal|processamento de sinal digital]] (ver Pei (2004) e Alfsmann (2006,7). Em 2009, matemáticos provaram um [[variável motor|teorema fundamental da álgebra tessarine]]: um polinômio de grau ''n'' com coeficientes tessarines tem ''n''<sup>2</sup> raízes, contando multiplicidades.<ref>Robert D. Poodiack & Kevin J. LeClair (2009) "Fundamental theorems of algebra for the perplexes", [[The College Mathematics Journal]] 40(5):322–35</ref> |
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:<math>t \mapsto \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}, \quad p = w + xi, \quad q = y + zi </math> |
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é uma representação linear da álgebra dos tessarines como uma subálgebra de matrizes complexas {{nowrap|2 × 2}}. |
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Por exemplo, {{nowrap|1=''ik'' = ''i''(''ij'') = (''ii'')''j'' = −''j''}} na representação linear é |
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:<math>\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .</math> |
:<math>\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .</math> |
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==Isomorfismos para outros sistemas numéricos== |
== Isomorfismos para outros sistemas numéricos == |
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Em geral, os tessarines formam uma [[álgebra sobre um corpo|álgebra]] de dimensão dois sobre os [[número complexo|números complexos]] com [[base (álgebra linear)|base]] {{nowrap|{ 1, ''j'' }<nowiki/>}}. |
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Revisão das 12h48min de 13 de abril de 2014
× | 1 | i | j | k |
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1 | 1 | i | j | k |
i | i | −1 | k | −j |
j | j | k | 1 | i |
k | k | −j | i | −1 |
Na matemática, um tessarine é um número hipercomplexo da forma
onde
Os tessarines são mais conhecidos por sua subálgebra de tessarines reais também chamados de números complexos hiperbólicos, que expressam a parametrização da hipérbole unitária.
James Cockle introduziu os tessarines em 1848 em uma série de artigos na Philosophical Magazine. Cockle usou os tessarines para isolar as séries de cossenos hiperbólicos e as séries de senos hiperbólicos nas séries exponenciais. Ele também mostrou como os divisores de zero surgem nos tessarines, inspirando ele a usar o termo "impossíveis."
Em 1892, Corrado Segre introduziu os números bicomplexos no Mathematische Annalen, que formam uma algebra equivalente aos tessarines (ver seção abaixo). Como números hipercomplexos comutativos, a álgebra tessarine é defendida por Clyde M. Davenport (1991, 2008) (mudou j e −k em sua tabela de multiplicação). Davenport notou o isomorfismo com a soma direta do plano de números complexos com si mesmo. Tessarines também foram aplicados no processamento de sinal digital (ver Pei (2004) e Alfsmann (2006,7). Em 2009, matemáticos provaram um teorema fundamental da álgebra tessarine: um polinômio de grau n com coeficientes tessarines tem n2 raízes, contando multiplicidades.[1]
Conjuntos de números |
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Representação linear
Para o tessarine note que pois ij = k. A aplicação
é uma representação linear da álgebra dos tessarines como uma subálgebra de matrizes complexas 2 × 2. Por exemplo, ik = i(ij) = (ii)j = −j na representação linear é
Note que ao contrário de muitas álgebras matriciais, esta é uma álgebra comutativa.
Isomorfismos para outros sistemas numéricos
Em geral, os tessarines formam uma álgebra de dimensão dois sobre os números complexos com base { 1, j }.
Notas e referências
- ↑ Robert D. Poodiack & Kevin J. LeClair (2009) "Fundamental theorems of algebra for the perplexes", The College Mathematics Journal 40(5):322–35