Geometria

 Nota: Para outros significados, veja Geometria (desambiguação).

Uma ilustração do Teorema de Desargues, um resultado importante na geometria euclidiana e projetiva.

Oxyrhynchus papyrus (P.Oxy. I 29) mostrando um fragmento dos Elementos de Euclides.

A Geometria (em grego clássico: γεωμετρία; geo- "terra", -metria "medida") é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades do espaço. Um matemático que trabalha no campo da geometria é denominado de geômetra. A geometria surgiu independentemente em várias culturas antigas como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume, sendo que o aparecimento de elementos de uma ciência matemática formal é no mínimo tão antigo quanto Tales (século VI a.C.). Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma axiomática por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria euclidiana, estabeleceu um padrão que perdurou por séculos. Arquimedes desenvolveu técnicas engenhosas para calcular áreas e volumes, antecipando em várias maneiras o moderno cálculo integral. O campo da astronomia, especialmente o mapeamento das estrelas e planetas na esfera celestial e a descrição das relações entre os movimentos dos corpos celestiais, foi uma das mais importantes fontes de problemas geométricos durante os mil e quinhentos anos seguintes. Tanto a geometria quanto a astronomia foram consideradas no mundo clássico parte do Quadrivium, um subgrupo das sete artes liberais cujo domínio era considerado essencial para o cidadão livre.

Como mostrado por Arquimedes, uma esfera tem 2/3 do volume de seu cilindro circunscrito.

A geometria esférica é um exemplo de geometria não-euclidiana. Ela tem aplicações práticas em navegação e astronomia.

A partir da experiência, ou, eventualmente, intuitivamente, as pessoas caracterizam o espaço por certas qualidades fundamentais, que são denominadas axiomas de geometria (como, por exemplo, os axiomas de Hilbert). Esses axiomas não são provados, mas podem ser usados em conjunto com os conceitos matemáticos de ponto, linha reta, linha curva, superfície e sólido para chegar a conclusões lógicas, chamadas de teoremas.

A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.

Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra, puderam ser transformados em problemas de geometria (e vice-versa), muitas vezes conduzindo à simplificação das soluções. (ver geometria analítica)

História

Origens da geometria

Egito

Ver artigo principal: Geometria egípcia

Ilustração do ensino da Geometria, dos Elementos de Euclides.

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos. De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.

Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra, gerando conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.

A dimensão desses conflitos pode ser apreciada na repercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egito, onde uma pessoa acabada de falecer tem de jurar aos deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Era um pecado punível com ter o coração comido por uma besta horrível chamada o «devorador». Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinar alguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite das suas possessões para poderem cultivá-la e pagarem os impostos devidos na medida da sua extensão aos governantes.

Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.

Acredita-se em geral que a origem da geometria se situa no Egito, o que é natural, pois, para a construção das pirâmides e outros monumentos desta civilização, seriam necessários conhecimentos geométricos. Estudos mais recentes contrariam esta opinião e referem que os egípcios foram buscar aos babilónios muito do seu saber.

Dois problemas clássicos da geometria

Ao longo da história, a Geometria glorifica dois problemas que se tornaram clássicos: quadratura do círculo e duplicação do cubo.

O primeiro problema: A quadratura do círculo

O Problema da Quadratura do Circulo.

O problema da quadratura do círculo foi proposto por Anaxágoras (499-428 a.C.): dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso.

Os gregos desenvolviam a Matemática, não com escopo prático, utilitarista, mas movidos pelo desafio intelectual, pelo “sabor do saber” e pelo prazer intrínseco, já que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento.

O segundo problema: a duplicação do cubo

Representação Gráfica do Problema da Duplicação do Cubo.

Conta uma lenda que, em 429 a.C., durante o cerco espartano na Guerra do Peloponeso, uma peste dizimou um quarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles, e que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de Apolo, em Delfos, para inquirir como a peste poderia ser eliminada.

O oráculo respondeu que o altar cúbico de Apolo deveria ser duplicado. Os atenienses celeremente dobraram as medidas das arestas. A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o erro? Em vez de dobrar, os atenienses octuplicaram o volume do altar. A complexidade do problema deve-se ao fato de que os gregos procuravam uma solução geométrica, usando régua (sem escala) e compasso.

Infere-se que os dois problemas clássicos da Geometria — a quadratura do círculo e a duplicação do cubo — têm solução trivial por meio da Álgebra.

E a solução geométrica? Em 1837, Pierre L. Wantzel, um jovem professor e matemático francês de apenas 23 anos, demonstra que os dois problemas em tela não podem ser resolvidos utilizando-se apenas régua e compasso.

É importante mencionar que os gregos, além de não conhecerem a Álgebra, desenvolviam a Matemática como um desafio intelectual ou pelo sublime prazer de pensar.

A primeira axiomatização da geometria

Ver artigo principal: Geometria euclidiana

Ver também: Matemática grega

Estátua de Euclides.

A criação da geometria analítica

Ver artigo principal: Geometria analítica

No século XVII, a criação da geometria analítica pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat conectou a álgebra à geometria, e deu grande ímpeto ao desenvolvimento do cálculo infinitesimal.

Descoberta das geometrias não euclidianas

Ver artigo principal: Geometria não euclidiana

• 
  Gauss
• 
  Bolyai
• 
  Lobachevsky

“A suposição de que (em um triângulo) a soma dos três ângulos é menor que 180° leva a uma curiosa geometria, muito diferente da nossa, mas completamente consistente, que desenvolvi para a minha inteira satisfação.” — Carl Gauss

Houve muita controvérsia em torno das geometrias não euclidianas. Por vezes, os teoremas em geometria não euclidiana eram tão exóticos que, apesar de não encontrarem inconsistências lógicas, matemáticos a tomavam como absurda.

Programa de Erlangen

Ver artigo principal: Programa de Erlangen

O matemático Felix Klein.

“Dado qualquer grupo de transformações no espaço que inclui o grupo principal como um subgrupo, então a teoria invariante para esse grupo fornece um tipo definido de geometria, e todas as geometrias possíveis podem ser obtidas dessa mesma maneira.” — Felix Klein

Em 1871, enquanto em Göttingen, Felix Klein fez descobertas importantes em geometria. Klein fez uso da teoria dos invariantes para unir a geometria à teoria dos grupos. Ele publicou dois artigos sobre a chamada geometria não euclidiana, mostrando que as geometrias euclidiana e não euclidianas podiam ser consideradas casos especiais de uma superfície projetiva com uma seção cônica específica adjunta. Isso teve o corolário notável de que a geometria não euclidiana era consistente se, e somente se, a geometria euclidiana o fosse, colocando as geometrias euclidiana e não euclidianas em pé de igualdade (uma vez que se fosse encontrada uma inconsistência em qualquer uma delas, isto acarretaria que a outra também é inconsistente), e terminando com toda a controvérsia que girava em torno das geometrias não euclidianas.

Ramos

Topologia e geometria

O nó de trevo.

O campo da topologia, em que houve enorme desenvolvimento no século XX, é em sentido técnico um tipo de geometria transformacional, em que as transformações que preservam as propriedades das figuras são os homeomorfismos (por exemplo, isto difere da geometria métrica, em que as transformações que não alteram as propriedades das figuras são as isometrias). Isto tem sido frequentemente expresso sob a forma do dito "a topologia é a geometria da folha de borracha".

Geometria diferencial

A geometria diferencial é a disciplina matemática que faz uso de técnicas de cálculo diferencial e cálculo integral, bem como de álgebra linear e álgebra multilinear, para estudar problemas de geometria. Ela é de vital importância no estudo de física teórica.

Aplicações

Concha de um nautilus: O formato é aproximadamente uma espiral logarítmica.

Conhecimentos de geometria são aplicados nos mais variados campos do conhecimento humano, tais como: física, química, geologia, astronomia, engenharia, biologia, navegação e cartografia.

Física

Imagens chegam até nós afetadas pelo efeito lente gravitacional.

Apesar de estudiosos tais como Carl Gauss e Nikolai Lobachevsky terem considerado a possibilidade de o espaço físico não ser euclidiano, as geometrias não euclidianas eram quase que apenas consideradas curiosidades intelectuais abstratas antes de Albert Einstein encontrar usos para elas em teorias de física. Na teoria geral da relatividade, interpreta-se que o espaço torna-se "curvo" na presença de campos gravitacionais.

Química

A geometria de uma molécula (como os átomos que formam uma molécula estão dispostos espacialmente) determina muitas das propriedades químicas e físicas de uma substância.

Cartografia

Projeção ortográfica de uma porção da superfície terrestre.

Projeções cartográficas são transformações que mapeiam pontos de uma superfície não plana (geralmente, por simplicidade, assume-se a forma de uma esfera ou elipsoide como o formato do planeta) para os pontos de um plano. É impossível representar a superfície da Terra em um plano sem que ocorram distorções.

Ver também

• Geometria analítica
• Geometria com complexos
• Geometria descritiva
• Geometria esférica
• Geometria euclidiana
• Geometria fractal
• Geometria projetiva
• Projecção ortogonal
• Trigonometria