Cinemática

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler

Cinemática (do grego κινημα, movimento) é o ramo da Física que se ocupa da descrição dos movimentos dos corpos, sem se preocupar com a análise de suas causas (Dinâmica). Geralmente trabalha-se aqui com partículas ou pontos materiais, corpos em que todos os seus pontos se movem de maneira igual e em que são desprezadas suas dimensões em relação ao problema.

Conceitos iniciais

Referencial

Trata-se de um ponto de referência ${S}$ em relação ao qual é definido o vetor posição ${\vec {r}}$ do corpo em função do tempo. Este vetor nos fornece a posição do corpo em um dado instante ${t}$. Assume-se geralmente como origem do sistema de coordenadas a posição ${{\vec {r}}_{0}}$ do corpo no instante inicial ${t_{0}}$. Este instante é escolhido arbitrariamente; para fins práticos pode-se dizer que é o instante em que se dispara o cronômetro para a análise do fenômeno. vetores sao um monte de numeros enbariados a vossa senhoria nunca vai comsegui entender por que vc é burro e procuro trabaios na wick entao procure saites que teinhas maises infromasssés conkretas floa sues jegues

Trajetória

Um corpo, em relação a um dado referencial ${S}$, ocupa um determinado ponto ${P}$ em um dado instante ${t}$. Chama-se de trajetória ao conjunto dos pontos ocupados por um corpo ao longo de um intervalo de tempo ${\Delta t}$ qualquer.

Deslocamento

É o vetor resultante da subtração do vetor posição final ${\vec {S}}$ pelo vetor posição inicial ${\vec {S_{0}}}$:

${{\vec {d}}={\vec {S}}-{\vec {S_{0}}}}$

É importante notar que o deslocamento é de natureza vetorial, ou seja, são consideradas sua posição, direção e sentido. Em certos casos, porém, como em uma corrida de fórmula 1, é mais interessante trabalhar apenas com a distância percorrida ${\Delta S}$, que é o comprimento da trajetória realizada. do fator 1 em consequencia da resolução dos segmentos.

Velocidade média

Velocidade média é a razão do deslocamento ${\Delta S}$ pelo intervalo de tempo ${\Delta t}$. A velocidade média pode ser considerada escalar se for considerada apenas o módulo do deslocamento. Em uma corrida de fórmula 1, por exemplo, se levarmos em conta somente o vetor posição, ao final de cada volta o piloto terá desenvolvido, pois não houve deslocamento. Entretanto, considerando apenas o espaço percorrido pelo piloto, teremos uma velocidade escalar média diferente de 0, portanto, muito mais útil para as análises necessárias. No movimento unidimensional, trabalhar tanto com um quanto com outro nos leva aos mesmos resultados. Pode-se definir a velocidade média como:

${{\vec {v_{m}}}={\frac {\Delta {\vec {S}}}{\Delta {t}}}={\frac {{\vec {S}}-{\vec {S_{0}}}}{t-t_{0}}}}$

Velocidade instantânea

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo ${\delta t}$ infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ${\vec {v}}$ ou simplesmente velocidade como sendo:

${{\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}$

Podemos falar também de uma rapidez instantânea, que seria o módulo do vetor velocidade em um dado instante de tempo ${t}$.

Aceleração média e instantânea

Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:

${{\vec {a_{m}}}={\frac {{\vec {v}}-{\vec {v_{0}}}}{t-t_{0}}}}$ (aceleração média)

${{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}$ (aceleração instantânea)

Breve introdução à cinemática

O MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL

A forma mais didática de se iniciar a cinemática é a partir do "movimento unidimensional", embora este seja apenas um caso particular do movimento geral num espaço euclideano tridimensional (como esse em que vivemos). O movimento unidimensional consiste no movimento de uma "partícula" restrita a uma reta.

• Partículas e o movimento sobre uma reta

O conceito de partícula que será usado aqui difere do conceito de partícula encontrado na física quântica (ex: quarks, elétrons). Definiremos uma partícula como algo que possui apenas duas propriedades: localização e massa. Assim, note que a partícula não tem extensão nem forma. Para descrever a posição de um corpo extenso, precisamos dizer a localização de cada pedaço que o compõe, mas isso não é necessário para uma partícula. Graficamente, podemos pensar na partícula como um ponto que possui massa e se move pelo espaço com a passagem do tempo. As partículas não existem na realidade, são objetos matemáticos sobre os quais construímos a primeira descrição realmente poderosa do mundo.

Num espaço tridimensional, precisamos definir três números, ou "coordenadas", para dar a posição de uma partícula. Isso quer dizer que duas partículas que estejam à mesma altura podem não estar na mesma posição: uma pode simplesmente estar mais "para a frente" ou "para o lado" do que a outra. No entanto, existem casos onde podemos restringir o movimento das partículas a uma reta. Por exemplo, podemos pensar em partículas que só podem se mover "para os lados", não podendo nem subir ou descer e nem ir para a frente ou para trás. Assim, tudo o que precisamos para definir a posição da partícula nesse caso é de uma coordenada, que diz o quanto a partícula está "para o lado".

Vamos colocar isso de forma mais precisa. Definimos uma reta, à qual estão restritos os movimentos das partículas que estamos considerando. Sobre a reta, definimos um ponto qualquer, chamado de "origem". Definimos então uma coordenada "x" para a partícula. O módulo de x é a distância entre a partícula e a origem; enquanto o sinal é dado como positivo caso a partícula esteja à direita da origem, e negativo caso ela esteja à esquerda. A escolha da direita como positivo e esquerda como negativo é questão de definição: nada impede que se faça o contrário, tomando os devidos cuidados. Também nada impede que se faça uma reta vertical, definindo x como positivo quando estiver acima da origem e negativo abaixo dela, por exemplo. A escolha das "inclinações" da reta são irrelevantes aqui, e espera-se do leitor uma certa abstração quanto a isso.

• O problema da descrição

Com os procedimentos acima, está totalmente caracterizada a posição da partícula nisso que chamamos de movimento unidimensional. Agora, lembremos de que estamos caminhando para descrever um "movimento". O pensamento coloquial diría que isso significa que a partícula se move quando o tempo passa. Mas isso é vago, além de redundante: o tratamento adequado é: 1- Criar um conjunto, correspondente a um intervalo de números reais. Ou seja, define-se um número real t1 e um número real t2, e então todos os infinitos números entre t1 e t2 são elementos desse conjunto. Cada um desses números é um valor do tempo, dentro do intervalo de tempo t1-t2.

2- Criar um outro conjunto, cujos elementos serão valores da coordenada "x". Esse conjunto deve ser compatível com o "3":

3- Criar uma função do primeiro ao segundo conjunto. Ou seja, para cada valor do tempo haverá uma posição bem definida da partícula sobre a reta.

É interessante notar que a "passagem do tempo" inexiste em tal tratamento matemático, de modo que pode-se questionar a sua existência no mundo físico.

A função definida em "3" caracteriza totalmente o movimento unidimensional. Entretanto, a princípio sería impossível defini-la na prática: teríamos que pegar um por um os infinitos valores do tempo de um certo intervalo e relacionar a cada um deles uma posição diferente para a partícula! Obviamente isso não é necessário no mundo real. Em primeiro lugar, todos os movimentos que pudemos observar até hoje obedecem certas regras. Uma dessas regras é a "continuidade". Não vamos dar aqui uma definição matemática precisa do que é uma função contínua, mas um olhar qualitativo nos mostra que, em funções contínuas, se pegarmos valores do tempo cada vez mais próximos, veremos que as posições das partículas associadas a eles também se aproximarão arbitrariamente. Isso implica que a partícula não pode ir de um lugar ao outro sem antes percorrer todo o caminho entre esses dois pontos! Outras regras serão vistas mais tarde, mas a existência dessas regras implica que podemos escrever o movimento através de equações, o que nos permite fazer o trabalho descrito acima (relacionar infinitos elementos de dois conjuntos) com breves rabiscos no papel.

A existência de uma função que relaciona a cada valor do tempo uma posição no espaço é denotada por:

$x=x(t)$

Onde t são os valores do tempo.

• Velocidade média

Agora que a descrição do movimento unidimensional está completamente caracterizada, vamos pensar em conceitos importantes relacionados a ele. A importância desses conceitos é que eles estão relacionados às regras que regem o movimento, como veremos mais tarde. O primeiro conceito que colocaremos aqui é a velocidade média, definida por:

$v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

Ou seja, a velocidade média entre os tempos t1 e t2 é igual à diferença entre as posições da partícula no tempo t2 e no tempo t1, dividido pela diferença entre esses tempos. Não deve-se pensar que a velocidade média equivale a todo o espaço percorrido em um certo tempo dividido por esse tempo, porque a partícula pode ter retrocedido em seu caminho: pode ter percorrido no total muito mais espaço do que parece a quem vê apenas sua posição inicial e final (como alguém que viaja à europa e depois de um mês está de volta ao mesmo local). Embora a descrição que leve em consideração o espaço total percorrido pareça muito mais "real", isso NÃO é considerado na velocidade média! Só importa a posição inicial e a final, e o tempo decorrido.

• Velocidade instantânea

Fica claro que, quanto menor é o intervalo de tempo t2 - t1, mais precisa é a descrição dada pela velocidade média. Se o tempo for de dez anos, alguém podería ter conhecido o mundo todo antes de voltar para casa nesse período (e parecería à velocidade média que ele quase não se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pessoa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva a desejar a formulação do conceito de "velocidade instantânea", ou seja, algo análogo à velocidade média, mas com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da velocidade, é preciso considerar tempos cada vez menores, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1. Assim, usamos a operação matemática conhecida como "limite": a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende a t1. Ou seja:

$v(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

A operação acima descrita é chamada uma "derivada". Se temos uma função qualquer f(t), então a derivada de f(t) no ponto t1 é:

$f'(t)=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

Ou, se definirmos t2 = t1+h,

$f'(t_{1})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t_{1}+h)-f(t_{1})}{h}}$

Assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t1) é a derivada da função x(t) no ponto t1. Ou seja, A velocidade instantânea é a derivada temporal da posição.

Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posição varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda no sentido que foi definido como positivo para a posição (veja a seção "Partículas e o movimento sobre uma reta") . Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o que foi definido negativo para a posição.

• Relação entre velocidade média e velocidade instantânea

Este trecho supõe que o leitor entenda o conceito de integral. A partir da equação

$a={\frac {dv}{dt}}$

Podemos integrar os dois lados em relação a t, de modo a obter

$v(t)=\int adt+C$

Com a condição v(0) = v0, fica claro que C = v0, ou seja

$v(t)=v_{0}+\int adt$

E sabemos que

$v={\frac {dx}{dt}}=v_{0}+\int adt$

Então, integrando os dois últimos membros, temos

$x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt$

Agora, substituindo isso na definição da velocidade média

$v_{m}={\frac {x-x_{0}}{\Delta t}}$

temos

$v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int \left(\int adt\right)dt$

Também podemos exprimir este resultado em relação à velocidade instantânea.

$v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int v-v_{0}dt$

$v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\left(-v_{0}\Delta t+\int vdt\right)$

$v_{m}={\frac {1}{\Delta t}}\int vdt$

Que é uma relação interessante, e expande o significado físico da velocidade média.

• O referencial

Ver "O referencial no movimento unidimensional", no artigo "Referencial" indicado no fim desta página.

• A aceleração - média e instantânea

Da mesma forma que definimos a velocidade média, podemos definir a "aceleração média" como

$a_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

E, analogamente à velocidade, a aceleração instantânea:

$a(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

Então, A aceleração instantânea é a derivada temporal da velocidade. A aceleração é a taxa de variação da velocidade: quanto maior a aceleração, mais rápido a velocidade varia. Se a aceleração for positiva, e a velocidade for positiva, então o módulo da velocidade aumenta. Se ela for negativa, e a velocidade, positiva, então o módulo da velocidade diminui. Assim, a aceleração "puxa" a velocidade na direção dela, fazendo-a crescer caso ambas estejam no mesmo sentido, e diminuir caso estejam em sentidos opostos.

A relação entre aceleração média e instantânea é a mesma que há entre a velocidade média e a instantânea.

• Movimento unidimensional uniforme

Este movimento é caracterizado pelo simples fato de que não há aceleração agindo sobre a partícula.

Aqui (e na seção "Movimento unidimensional uniformemente variado") iremos demonstrar todos os resultados de forma que não requeira o conhecimento do Cálculo. No entanto, o leitor que esteja familiarizado à integração pode notar que todos esses resultados vêm facilmente das relações:

$a(t)={\frac {dv}{dt}}=>v(t)=v(t)=v_{0}+\int adt$

$v={\frac {dv}{dt}}=>x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt$

Agora, procuraremos formas de demonstrar as equações do movimento uniforme para quem não conheça os métodos da integração.

Para isso, lembremos que a aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo. Sendo assim, em um movimento onde não haja aceleração, a velocidade obviamente não varia com o tempo. Isto é, ela permanece constante. Então, no movimento unidimensional uniforme:

$v(t)=v_{0}$

Então, lembrando que a velocidade é a taxa de variação da posição, e sabendo que ela é constante, vemos que a posição varia uniformemente com o tempo, o que justifica o nome desse movimento. Ou seja, variação da posição é diretamente proporcional ao tempo, sendo a constante de proporcionalidade a velocidade!

$\Delta x(t)=v_{0}\Delta t$

Escrevendo delta x = x - x0, temos

$x=x_{0}+v_{0}\Delta t$

Essa equação dá uma descrição completa do movimento uniforme.

• Movimento unidimensional uniformemente variado

Esse movimento é caracterizado pelo fato de que a aceleração é constante. Lembrando que a aceleração é a taxa de variação da velocidade (assim como a velocidade é a taxa de variação da posição), podemos escrever a relação entre a velocidade e a aceleração da mesma forma que escrevemos a relação entre a posição e a velocidade:

$v(t)=v_{0}+a\Delta t$

Para encontrar x, podemos usar a velocidade média:

$v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$

Que leva a

$v_{m}(t_{1},t_{2})\Delta t+x_{0}=x$

Como a velocidade cresce uniformente, a velocidade média deve ser a média aritmética entre a velocidade final (ou simplesmente v(t)) e a velocidade inicial

$v_{m}(t)={\frac {v(t)+v_{0}}{2}}$

Assim,

$x_{0}+\Delta t{\frac {v(t)+v_{0}}{2}}=x$

E, usando o valor de v(t) encontrado lá em cima, temos:

$x(t)=x_{0}+{\frac {v_{0}+a\Delta t+v_{0}}{2}}\Delta t$

De onde vem:

$x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}$

Em certos casos, convém encontrar x em função da velocidade instantânea, e não do tempo. Para isso, basta encontrar o valor do tempo em função da velocidade através da equação da velocidade:

$v(t)=v_{0}+a\Delta t=>\Delta t={\frac {v-v_{0}}{a}}$

E substituir o tempo por esse valor, na equação de x(t):

$x(t)=x_{0}+v_{0}\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)+{\frac {1}{2}}a\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)^{2}$

O que arrumamos para obter uma equação mais singela:

$x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {1}{2}}a{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{a^{2}}}$

$x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{2a}}$

$x(v)=x_{0}+{\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}$

$x(v)-x_{0}=\Delta x={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}$

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x$

Que é uma equação bastante útil. O conceito de trabalho emerge dela, como pode ser visto no artigo "Trabalho", que está indicado no fim desta página.

Note que o movimento uniforme é um caso especial do movimento uniformemente variado. Basta colocarmos na equação inicial (a=C), C = 0. Assim, a aceleração é 0, e todas as equações se reduzem às do movimento uniforme:

$v(t)=v_{0}+0.\Delta t=>v(t)=v_{0}$

$x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}.0(\Delta t)^{2}=>x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t$

A equação

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x$

com a=0, nos dá a identidade, já que v = v_0:

$v^{2}-v^{2}=2.0.\Delta x=>0=0$

Isso reflete o fato de que saber a velocidade em um dado instante não é o bastante para saber a posição nesse instante. De fato, todas as posições correspondem à mesma velocidade.

Referências

• Hewitt, Paul G.(2002). Física Conceitual. Porto Alegre. Editora Bookman. ISBN 85-363-0040-X.
• Leighton, Robert B.; Sands, Matthew; Feynman, Richard P.(2005). Feynman Lectures on Physics. Addison Weasley. ISBN 0-8053-9045-6.
• Nussenzveig, H. Moysés.(2002). Curso de Física Básica, Vol.1 - Mecânica. São Paulo. Edgard Blücher. ISBN 85-212-0298-9.

Ver também

• Commons
• Wikilivros

• Trabalho
• Derivada
• Função
• Movimento parabólico
• Movimento retilíneo (uniforme e uniformemente variado)
• Paradoxos de Zeno
• Ponto material
• Referencial