Quadrado perfeito

Quadrado perfeito em matemática, sobretudo na aritmética e na teoria dos números, é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9...

Exemplos

0 = 0²	36 = 6²	144 = 12²
1 = 1²	49 = 7²	169 = 13²
4 = 2²	64 = 8²	196 = 14²
9 = 3²	81 = 9²	225 = 15²
16 = 4²	100 = 10²	256 = 16²
25 = 5²	121 = 11²	289 = 17²

Propriedades

Olhando para os exemplos podemos induzir algumas previsões, que requerem prova rigorosa.

"Todo quadrado perfeito par, tem raiz par": 4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).; PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X²=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X²=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por $X={\sqrt {2k}}$ . Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perfeito requer k=2y^2, ou seja, $X={\sqrt {4y^{2}}}=2y$ , portanto um número par.

"Todo quadrado perfeito impar, tem raiz impar": 1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).; PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.

As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos números não são quadrados perfeitos. [1]

"Todo numero terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito": basta avaliar os exemplos acima e outros mais.; PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o producto de dois números iguais.

"Todo numero par que não for divisível por 4, não é quadrado perfeito": 2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.; PROVA: Todo o numero par é divisível por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2 x 2 = 4.

Relação de recorrência

Se denotarmos por $Q_{n}$ o enésimo quadrado perfeito, temos, portanto $Q_{n}=n^{2},n=1,2,3,...$ . Pode-se, por completeza, definir $Q_{0}=0$ . Observe que $Q_{n+1}-Q_{n}=(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$ o que permite estabelecer a relação de recorrência $Q_{n+1}=Q_{n}+2n+1$ .

Números quadrados

$Q_{1}$	$=1$	$=1^{2}$
$Q_{2}$	$=Q_{1}+3=1+3$	$=2^{2}$
$Q_{3}$	$=Q_{2}+5=1+3+5$	$=3^{2}$
$Q_{4}$	$=Q_{3}+7=1+3+5+7$	$=4^{2}$
$Q_{5}$	$=Q_{4}+9=1+3+5+7+9$	$=5^{2}$	$.$
$Q_{n}$	$=Q_{n-1}+(2n-1)=1+3+5+...+(2n-1)$	$=n^{2}$

Dito de outra forma: a soma dos primeiros $n$ números ímpares é igual a $n^{2}$ , o que também já não era novidade na antiga Grécia: $Q_{n}=1+3+5+...+(2n-1)$ .

Relação com números triangulares

Tomemos a sequência dos $n$ primeiros números ímpares $1+3+5+7+9+...+(2n-1)$ e retiremos uma unidade de cada um, $0+2+4+6+8+...+(2n-2)$ , reservando os $n$ elementos retirados. Como todos os termos da sequência obtida são números pares, $2(1+2+3+4+...+(n-1))$ , temos representado dois triângulos de ordem $(n-1)$ .

Combinando os dois triângulos $T_{n-1}$ com os $n$ elementos guardados obtemos, por fim, o quadrado $Q_{n}$ : $2.T_{n-1}+n=[(n-1).n]+n=n^{2}-n+n=n^{2}$ .

$\Rightarrow$ $1+3+5+7+9+11+13+15$

$\Rightarrow$ $211.T_{7}+8=64$

Teorema (Nicômaco, sec. I) $\Rightarrow$ $T_{n}+T_{n+1}=Q_{n+1}$

Teorema (Plutarco, sec I) $\Rightarrow$ Se $T$ fôr um número triangular, então $8.T+1$ é um número quadrado.

A demonstração consiste apenas em combinar 8 triângulos iguais, de forma conveniente:

8.T_{n}=4(2.T_{n})=4[n.(n+1)]

. Mas

4[n(n+1)]=4.n^{2}+4.n

, que representa 4 quadrados mais 4 colunas.

Combinando 4 quadrados com 4 colunas e mais uma unidade, temos

4.n^{2}+4.n+1=(2.n+1).2

, isto é,

8.154T_{n}+1=Q_{2n+1}

.

$\Rightarrow$ $8.T_{n}+1=Q_{2n+1}=T{n-1}+6.T_{n}+T_{n+1}$ !!!

Quadrados de números racionais

Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja $N$ um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional ${\frac {p}{q}}$ tal que $\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}=N$ ?

Para $N=2$ , a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de ${\sqrt {2}}$ foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.

Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de polinômios.

Como achar um

Para achar um quadrado perfeito, basta seguir uma regra simples: Começando com o primeiro quadrado perfeito, some com o próximo número ímpar: 1 + 3 = 4, assim temos o quadrado perfeito quatro. Para o próximo quadrado perfeito, some 4 com o número ímpar seguinte a 3, no caso 5: 4 + 5 = 9 e assim por diante. Seguindo este algorítimo pode-se escrever a lista de todos os quadrados perfeitos.

Para um número qualquer, use como exemplo o quadrado perfeito mais perto do que o que você quer e o anterior deste. Por exemplo, para localizar um que esteja entre 120 e 150, temos que 100 é um quadrado perfeito, e o que vem antes dele é o 81. Então, veja a diferença entre 100 e 81: 100 - 81 = 19, e a some com 2 e também com o número do exemplo. Ou seja: 19+2+100 = 121. 121 é o quadrado de 11.

Para encontrar o número anterior, faz-se a operação inversa, e caso não se saiba o mais próximo a operação pode ser repetida até encontrá-lo.

Ver também

Referências

GUNDLACH, Bernard H. (1992). Números e numerais: Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo. Editora Atual. ISBN 8570564589.