Curvatura

Uma migração da célula Dictyostelium discoideum do tipo selvagem, cujo limite é colorido por curvatura. Barra de escala: 5 µm; Duração: 22 segundos.

Em matemática, uma curvatura é qualquer um de uma série de conceitos vagamente relacionadas em diferentes áreas da geometria. Intuitivamente, curvatura é a quantidade na qual um objeto geométrico se desvia do plano, ou reto no caso de uma linha, mas esta é definida de diferentes formas, dependendo do contexto. Há uma diferença fundamental entre a curvatura extrínseca, que é definida para objetos incorporados em outro espaço (geralmente um espaço euclidiano) de um modo que se relaciona com o raio de curvatura de círculos que tocam o objeto, e curvatura intrínseca, que é definida em cada ponto de uma variedade de Riemann. Este artigo lida principalmente com o primeiro conceito.

O exemplo clássico de curvatura extrínseca é a de um círculo, que em todos os lugares tem curvatura igual ao inverso do seu raio. Círculos menores dobram-se mais acentuadamente, e, portanto, têm maior curvatura. A curvatura de uma curva suave é definida como a curvatura do seu círculo osculador em cada ponto.

Mais vulgarmente isto é uma quantidade escalar, mas pode-se também definir um vetor de curvatura que leva em conta a direção da dobra, bem como a sua nitidez. A curvatura de objetos mais complexos (tais como superfícies ou até mesmo curvas n-dimensionais de espaços) é descrita por mais objetos complexos de álgebra linear, tais como o tensor de curvatura geral de Riemann.

O restante deste artigo discute, a partir de uma perspectiva matemática, alguns exemplos geométricas de curvatura: a curvatura de uma curva incorporada num plano e que a curvatura de uma superfície no espaço euclidiano. Veja os links abaixo para ler mais.

Curvatura na física

Círculo osculador ilustrando as propriedades da curvatura.

A Relatividade geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.

Curvatura (geometria diferencial)

A curvatura de uma curva bidimensional dada em forma explícita, $y=f(x)$ tem uma curvatura $K$ num ponto $x$, sendo $K={\frac {y\prime \prime }{(1+y\prime ^{2})^{3/2}}}$, sendo $y\prime$ a derivada de primeira ordem de $y$: ${\frac {dy}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}$ e $y\prime \prime$ é a derivada de segunda ordem de $y$: $y\prime \prime ={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}$.

A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto $P(x,y)$ é $K=\lim \limits _{\Delta s\rightarrow 0}{\frac {\Delta \theta }{\Delta s}}$, onde $\Delta s$ é o comprimento da curva entre o ponto $P(x,y)$ e um ponto $Q(x,y)$, também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0. $\Delta \theta$ é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.

O raio do círculo osculador da curva é ${\frac {1}{|K|}}$.