Integral de Fresnel

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S(x) and C(x) O máximo de C(x) é cerca de 0.977451424. Se πt²/2 fosse usado em vez de t², a imagem estaria escalada verticalmente e horizontalmente (ver abaixo).

Integrais de Fresnel, S(x) e C(x), são duas funções transcendentais, cujo o nome advém de Augustin-Jean Fresnel, que são usadas em óptica. Advieram da descrição do fenómeno de difração de Fresnel em campos próximos (sugerido do inglês, near field) e são definidos pelas seguintes representações de integral:

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt.

A simultânea equação paramétrica de S(x) e C(x) é a Espiral de Cornu (também conhecida como clotóide e como espiral de Euler).

Definição[editar | editar código-fonte]

Os integrais de Fresnel admitem a seguinte série de potências que convergem para todo o x:

Integrais de Fresnel normalizados, S(x) e C(x). Nestas curvas o argumento da função trignométrica é πt2/2, por oposição a t2 como acima.
S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}
C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}

Alguns autores, incluindo Handbook of Mathematical Functions, (eqs 7.3.1 – 7.3.2) usam \frac{\pi}{2}t^2 para o argumento dos integrais definindo S(x) e C(x). Para conseguir estas funções, multiplicam os integrais acima por \sqrt{\frac{2}{\pi}} e multiplicam o argumento x por (\frac{\pi}{2})^{1/2}.

Espiral de Cornu[editar | editar código-fonte]

A espiral de Cornu (xy) = (C(t), S(t)). A espiral converge do centro dos buracos na imagem à medida que t tende para o infinito, positivo ou negativo.

A espiral de Euler, ou Cornu, ou clotóide, é a curva gerada pela equação paramétrica de S(t) por oposição a C(t). A esperial de Cornu foi criada por Marie Alfred Cornu como um nomograma para computação de difrações em ciência e engenharia.

Pela definição dos integrais de Fresnel, os infinitésimais dx e dy são:

 dx = C'(t)dt = \cos(t^2) dt \,
 dy = S'(t)dt = \sin(t^2) dt \,

Logo o comprimento da esprial medido da origem pode ser expresso como:

L = \int_0^t {\sqrt {dx^2 + dy^2}} = \int_0^t{dt} = t

Isto é, o parâmetro t é o comprimento da curva medido da origem (0,0) e a esprial de Cornu tem comprimento infinito. O vector [cos(t²), sin(t²)], também chamado vector tangente unitário, ao longo da espiral dá θ = . Visto t ser o comprimento da curva, a curvatura \kappa pode ser expressa como:

 \kappa = \tfrac {1}{R} = \tfrac {d\theta}{dt} = 2t

E o rácio de modificação da curvatura com respeito ao comprimento da curva é:

\tfrac {d^2\theta}{dt^2} = 2

Uma espiral de Cornu tem uma propriedade em que a curvatura é, em qualquer ponto, proporcional à distância ao longo da espiral, medida desde a origem. Esta propriedade faz com que seja útil no cálculo da curvatura em engenharia de autoestradas ou caminhos de ferro.

Se um veículo segue a espiral a uma velocidade, o parâmetro t nas derivações acima também representa o tempo. Isto é o veículo seguindo a espiral em velocidade constante vai ter um valor constante de aceleração angular.

Secções das espirais de Euler são vulgarmente usadas na forma de ciclos de Montanha-russa para fazer o que é conhecido como ciclos verticais (em que os utilizadores são postos de cabeça para baixo na sua viagem após uma subida, seguido de uma descida).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)
C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right).
  • C e S são funções inteiras.
  • Os integrais definindo C(x) e S(x) não podem ser avaliado em numa expressão fechada em termo de funções elementares, excepto em casos especiais. Os limites desta funções à medida que x se aproxima do infinito são conhecidos:
\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

Avaliação[editar | editar código-fonte]

The sector contour used to calculate the limits of the Fresnel integrals

Os limites de C e S à medida que o argumento vai para o infinito podem ser encontrados por métodos de Análise complexa. Isto usa o integral de contorno (sugerido do inglês contour integral da função

e^{-\frac{1}{2}t^2}

à volta da fronteira da região em forma do setor circular no plano complexo criada pelo positivo eixo x, meia linha de y = x, x ≥ 0, e o círculo de raio R centrado na origem.

Como R vai para infinito, o integral ao longo do arco circular tende para 0, o integral ao longo do eixo real tende para o integral gaussiano

 \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2}dt = 
\sqrt{\frac{\pi}{2}},

depois de algumas transformações de rotina, o integral ao longo do bi-sector do primeiro quadrante pode ser relacionado com o limite dos integrais de Fresnel.

Generalizção[editar | editar código-fonte]

O integral \int x^m \exp(ix^n)dx = \int\sum_{l=0}^\infty\frac{i^lx^{m+nl}}{l!}dx
 = \sum_{l=0}^\infty \frac{i^l}{(m+nl+1)}\frac{x^{m+nl+1}}{l!}

é uma função hipergeométrica confluente (sugerio do inglês, confluent hypergeometric function) e também uma função de gamma incompleta (sugerido do inglês, incomplete Gamma function).

\int x^m \exp(ix^n)dx =\frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid ix^n\right)
=\frac{1}{n}i^{(m+1)/n}\gamma(\frac{m+1}{n},-ix^n),

que reduz o integral de Fresnel se as suar partes reais ou imaginárias são retiradas:

\int x^m\sin(x^n)dx = \frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}
\,_1F_2\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{m+1}{2n}\\
\frac{3}{2}+\frac{m+1}{2n},\frac{3}{2}\end{array}\mid -\frac{x^{2n}}{4}\right).

O termo princípal da expansão assimtótica é

_1F_1\left(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid ix^n\right)\sim \frac{m+1}{n}\Gamma(\frac{m+1}{n})
e^{i\pi(m+1)/(2n)} x^{-m+1},

logo \int_0^\infty x^m \exp(ix^n)dx=\frac{1}{n}\Gamma(\frac{m+1}{n})e^{i\pi(m+1)/(2n)},

e em particular \int_0^\infty\sin(x^a)\ dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\sin(\frac{\pi}{2a})}{a}

com o lado esquerdo a convergir para a>1 e o lado direito sendo a sua extensão analítica ao plano inteiro menos onde se encontram os polos de \Gamma(a^{-1}).

A transformação de Kummer da função hipergeométrica confluente é

 \int x^m \exp(ix^n)dx = V_{n,m}(x)e^{ix^n}

com V_{n,m}:=\frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c}1\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid -ix^n\right).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Links externos[editar | editar código-fonte]