Integral de Fresnel
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Integrais de Fresnel, S(x) e C(x), são duas funções transcendentais, cujo nome advém de Augustin-Jean Fresnel, que são usadas em óptica. Advieram da descrição do fenômeno de difração de Fresnel em campos próximos (sugerido do inglês, near field) e são definidos pelas seguintes representações de integral:
A simultânea equação paramétrica de S(x) e C(x) é a Espiral de Cornu (também conhecida como clotóide e como espiral de Euler).
Definição[editar | editar código-fonte]
Os integrais de Fresnel admitem a seguinte série de potências que convergem para todo o x:
Alguns autores, incluindo Handbook of Mathematical Functions, (eqs 7.3.1 – 7.3.2) usam para o argumento dos integrais definindo S(x) e C(x). Para conseguir estas funções, multiplicam os integrais acima por e multiplicam o argumento x por .
Espiral de Cornu[editar | editar código-fonte]
A espiral de Euler, ou Cornu, ou clotóide, é a curva gerada pela equação paramétrica de S(t) por oposição a C(t). A esperial de Cornu foi criada por Marie Alfred Cornu como um nomograma para computação de difrações em ciência e engenharia.
Pela definição dos integrais de Fresnel, os infinitésimais dx e dy são:
Logo o comprimento da esprial medido da origem pode ser expresso como:
Isto é, o parâmetro t é o comprimento da curva medido da origem (0,0) e a espiral de Cornu tem comprimento infinito. O vector [cos(t²), sin(t²)], também chamado vector tangente unitário, ao longo da espiral dá θ = t². Visto t ser o comprimento da curva, a curvatura pode ser expressa como:
E o rácio de modificação da curvatura com respeito ao comprimento da curva é:
Uma espiral de Cornu tem uma propriedade em que a curvatura é, em qualquer ponto, proporcional à distância ao longo da espiral, medida desde a origem. Esta propriedade faz com que seja útil no cálculo da curvatura em engenharia de autoestradas ou caminhos de ferro.
Se um veículo segue a espiral a uma velocidade, o parâmetro t nas derivações acima também representa o tempo. Isto é o veículo seguindo a espiral em velocidade constante vai ter um valor constante de aceleração angular.
Secções das espirais de Euler são vulgarmente usadas na forma de ciclos de Montanha-russa para fazer o que é conhecido como ciclos verticais (em que os utilizadores são postos de cabeça para baixo na sua viagem após uma subida, seguido de uma descida).
Propriedades[editar | editar código-fonte]
- C(x) e S(x) são funções ímpares de x.
- usando a série de potências acima, os integrais de Fresnel podem ser estendidos ao domínios dos números complexos, e tornam-se funções analíticas de uma variável complexa. Os integrais de Fresnel podem ser expresso como Função erro como podemos ver:
- C e S são funções inteiras.
- Os integrais definindo C(x) e S(x) não podem ser avaliado em numa expressão fechada em termo de funções elementares, excepto em casos especiais. Os limites desta funções à medida que x se aproxima do infinito são conhecidos:
Avaliação[editar | editar código-fonte]
Os limites de C e S à medida que o argumento vai para o infinito podem ser encontrados por métodos de Análise complexa. Isto usa o integral de contorno (sugerido do inglês contour integral da função
à volta da fronteira da região em forma do setor circular no plano complexo criada pelo positivo eixo x, meia linha de y = x, x ≥ 0, e o círculo de raio R centrado na origem.
Como R vai para infinito, o integral ao longo do arco circular tende para 0, o integral ao longo do eixo real tende para o integral gaussiano
depois de algumas transformações de rotina, o integral ao longo do bi-sector do primeiro quadrante pode ser relacionado com o limite dos integrais de Fresnel.
Generalização[editar | editar código-fonte]
A integral
é uma função hipergeométrica confluente (sugerido do inglês, confluent hypergeometric function) e também uma função de gamma incompleta (sugerido do inglês, incomplete Gamma function).
que reduz o integral de Fresnel se as suas partes reais ou imaginárias são retiradas:
.
O termo principal da expansão assintótica é
,
logo ,
e em particular
com o lado esquerdo a convergir para a>1 e o lado direito sendo a sua extensão analítica ao plano inteiro menos onde se encontram os polos de .
A transformação de Kummer da função hipergeométrica confluente é
com .
Ver também[editar | editar código-fonte]
Referências[editar | editar código-fonte]
- van Wijngaarden, A.; Scheen, W. L. (1949). Table of Fresnel Integrals. Col: Verhandl. Konink. Ned. Akad. Wetenschapen, 4. 19. [S.l.: s.n.]
- Boersma, J. (1960). «Computation of Fresnel Integrals». Math. Comp. 14: 380-380. MR 0121973
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 7», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ISBN 978-0486612720, New York: Dover, MR0167642.
- Bulirsch, Roland (1967). «Numerical calculation of the sine, cosine and Fresnel integrals». Numer. Math. 9 (5): 380-385. doi:10.1007/BF02162153
- Hangelbroek, R. J. (1967). «Numerical approximation of Fresnel integrals by means of Chebyshev polynomials». J. Eng. Math. 1 (1): 37-50. doi:10.1007/BF01793638
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.8.1. Fresnel Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press
- Nave, R. (2002). «The Cornu spiral» (Uses πt²/2 instead of t².)
- Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals», in: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, ISBN 978-0521192255, Cambridge University Press, MR2723248
- Alazah, Mohammad (2012). «Computing fresnel integrals via modified trapezium rules». arXiv:1209.3451
Ligações externas[editar | editar código-fonte]
- «Roller Coaster Loop Shapes». Consultado em 13 de agosto de 2008. Arquivado do original em 23 de setembro de 2008